Unidade imaginária: diferenças entre revisões
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O conceito de [[elemento inverso]], relativamente à uma dada [[operação binária|lei de composição]] aplica-se sem restrição à [[unidade imaginária]] '''i'''. Basta observar a idéia que lhe é subjacente: o elemento inverso de um operando, num sistema, ao lhe ser aplicado, resulta o [[elemento neutro]] naquele mesmo sistema. É importante verificar, em cada sistema, se há bilateralidade ou unilateralidade de inversos.
====Identidade de inversos====
A [[unidade imaginária]] '''i''' apresenta, entre outras propriedades notáveis, a seguinte:
*''São idênticos entre si os elementos [[inverso aditivo]] e [[inverso multiplicativo]]'':
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Logo, para a [[unidade imaginária]] '''i''', além da bilateralidade de inversos para ambos os sistemas <b><big><i>{Im, +}</i></big></b> e <b><big><i>{Im, x}</i></big></b>, há ainda a coincidência de inversos, o aditivo e o multiplicativo: eles são idênticos entre si! Fique claro e que essa identidade de inversos, no domínio do Corpo <math>\mathbb{C}</math> dos [[número complexo|Números Complexos]]), ''vale apenas para a [[unidade imaginária]] e não para outros números imaginários ou complexos quaisquer''.
====Inverso aditivo de "i"====
O [[inverso aditivo]] de '''i''' é o número '''z''' tal que se verifique a identidade:
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:que é o [[elemento inverso aditivo]] procurado para a [[unidade imaginária]] '''i'''.
====Inverso multiplicativo de "i"====
O [[inverso multiplicativo]] de '''i''' é o número '''z''' tal que se verifique a identidade:
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Esses resultados mostram que o inverso multiplicativo de '''i''' é bilateral e único.
===[[Elemento neutro|Elementos neutros]]===
O conceito de [[Elemento neutro|elemento neutro imaginário]] aplica-se igualmente, também sem restrições conceituais, ao domínio dos sistemas em que intervenha a [[unidade imaginária]] '''i'''. Ele resulta da operação dum operando imaginário com o seu inverso, para uma dada operação, num dado sistema <b><big><i>{Im, *}</i></big></b>. Contudo, nesse caso, os elementos neutros aditivo e multiplicativo são distintos entre si:
1) <b><u>[[Elemento neutro aditivo imaginário]]</u></b>: é o [[zero imaginário]], identicamente equivalente ao [[zero complexo]] e ambos idênticos ao [[Zero|zero real]]:
:<math>\imath + (-i) = -(i) + i = 0 +0.i = 0</math>. Neste caso, '''[[zero]]''' é [[elemento neutro aditivo]] para todo e qualquer [[número imaginário]] e, por extensão, para todo e qualquer [[número complexo]];
2) <b><u>[[Elemento neutro multiplicativo imaginário]]</u></b>: ''não é o [[um imaginário]], que é precisamente a [[unidade imaginária]]''. É o [[um|um real]], identicamente equivalente ao [[unidade complexa|um complexo]]:
:<math>\imath . \frac{1}{i}\ = \frac{1}{i} . i = 1 +0.i = 1</math>. Neste caso, '''[[um]]''' é [[elemento neutro multiplicativo]] para todo e qualquer [[número imaginário]] e, por extensão, para todo e qualquer [[número complexo]].
*<b>Atenção!</b>: aqui é preciso cuidado. Não se deve confundir [[elemento neutro multiplicativo imaginário]] (o número [[um]]) com a [[unidade imaginária]] '''i''' (objeto deste artigo).
===Potências inteiras de "i"===
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