Quantificação: diferenças entre revisões
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Os dois tipos fundamentais de quantificação na lógica de predicados são: a [[quantificação universal]] e a [[quantificação existencial]]. Outros casos de quantificação incluem a quantificação de unicidade.
O símbolo tradicional para o quantificador universal "para todo" é
Veja [[quantificador generalizado]] e [[quantificador de Lindström]] para mais detalhes.
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Ambigüidades são evitadas colocando os quantificadores na frente (em símbolos ou palavras):
*
*Existe um A tal que
*Existe um A tal que para todo B, C – desambíguo, contanto que a separação entre B e C esteja clara
*Existe um A tal que C para todo B – está claro que o significado é:
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:mas isto poderia ser interpretado como:
::(existe um A tal que C) para todo B
*Existe um A tal que C
==Domínio de Quantificação==
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Um quantificador é um símbolo lógico que faz uma verificação sobre o [[conjunto]] de [[valores]] que tornam uma ou mais [[fórmulas]] verdadeiras. Este é um conceito bastante geral. Grande parte da [[matemática]] é formada por dois quantificadores: o quantificador universal e o quantificador existencial.
Informalmente, um quantificador é uma [[expressão]] que assinala a quantidade de vezes que um [[predicado]] é satisfeito numa [[classe]] de coisas (isto é, num [[domínio]]). Em [[termos]] formais, um quantificador liga uma [[variável]], transformando uma frase aberta com ''n'' [[variáveis]] livres diferentes numa outra frase com ''n''-1 [[variáveis livres e ligadas
=== A notação para quantificadores ===
O símbolo tradicional para o quantificador universal é
:: <math> \exists{x}\, P \quad \forall{x}\, P </math>
onde <math> P </math> denota uma fórmula. Muitas notações diferentes são usadas, como as seguintes
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:: <math>(x) \, P \quad \bigwedge_{x} P</math>
No início do século XX os documentos não usavam o símbolo
O [[quantificador universal]] "''para todo''" toma uma [[variável]] e uma [[fórmula]] e afirma que a [[fórmula]] pode assumir qualquer [[valor]] para um dado ''x''. Um exemplo típico seria uma [[sentença]] como a que seque abaixo:
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As ocorrências tanto de <math>x</math> quanto de <math>y</math> em <math>C(y,x)</math> são livres.
Uma interpretação para o cálculo de predicados de primeira ordem assume como dado um domínio de indivíduos <math>X</math>. Uma fórmula <math>A</math> cujas variáveis livres são ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>n</sub> é interpretada como uma função booleana ''F''(''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>n</sub>) de <math>n</math> argumentos, onde cada argumento booleano que dizer que a função assume um valor '''V''' (interpretado como verdade) ou '''F''' (interpretado como falsidade). A interpretação da fórmula:
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A primeira variável baseada no tratamento de quantificação foi apresentada no livro ''Begriffsschrift'' (1879) de Gottlob Frege. Para a quantificação universal de uma variável, Frege fazia uma ondulação em uma linha reta que aparece em suas fórmulas diagramáticas, escrevendo então a variável quantificada sobre a ondulação. Frege não tinha uma notação específica para quantificação existencial, usava em vez disso o equivalente de <math>\sim\forall x:\sim\ldots</math>. O tratamento da quantificação de Frege foi largamente comentado até os ''Princípios da Matemática'' (1903) de Bertrand Russell.
Charles Sanders Peirce e seu aluno O. H. Mitchell foram os grandes inventores do quantificador existencial assim como do quantificador universal, num trabalho concluído por Pierce (1885). Pierce e Mitchell escreveram Π<sub>x</sub> e Σ<sub>x</sub> , onde agora nós escrevemos
Peano adotou o quantificador universal como (x). Portanto, “(x)φ” indicava que a formula φ era verdadeira para toda valoração atribuída a x. Ele foi o primeiro a empregar, em 1897, a notação (∃x) para a quantificação existencial. O Princípio Matemático de Whitehead e Russell empregou a notação de Peano, assim como Quine e Alonzo Church fizeram ao longo de suas carreiras. Gentzen introduziu o símbolo ∀ (1935) por analogia ao símbolo ∃ de Peano. O símbolo ∀ não se tornou canônico até a década de 50.
== Referências ==
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[[Categoria:Lógica]]
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