Fator automórfico: diferenças entre revisões
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== Definição ==
Um ''fator automórfico de peso k'' é uma função
:<math>\nu:\Gamma \times \mathbb{H} \to \mathbb{C}</math>
satisfazendo as quatro propriedades dadas abaixo. Aqui, a notação <math>\mathbb{H}</math> e <math>\mathbb{C}</math> refere-se ao [[meio plano superior]] e ao [[plano complexo]], respectivamente. A notação <math>\Gamma</math> é um subgrupo de SL(2,R), tal como, por exemplo, um [[grupo fucsiano]]. Um elemento <math>\gamma\in\Gamma</math> é uma matriz 2x2
:<math>\gamma=\left[\begin{matrix}a&b \\c & d\end{matrix}\right]</math>
com <math>a,b,c,d</math> números reais, satisfazendo <math>ad-bc=1</math>.
Um fator automórfico deve satisfazer:
:1. Para um determinado <math>\gamma\in\Gamma</math>, a função <math>\nu(\gamma,z)</math> é uma [[função holomorfa]] de <math>z\in\mathbb{H}</math>.
:2. Para todo <math>z\in\mathbb{H}</math> e <math>\gamma\in\Gamma</math>, tem-se
::<math>\vert\nu(\gamma,z)\vert=\vert cz+d\vert^k</math>
:para um determinado número real ''k''.
:3. Para todo <math>z\in\mathbb{H}</math> e <math>\gamma,\delta\in\Gamma</math>, tem-se
::<math>\nu(\gamma\delta,z)=\nu(\gamma,\delta z)\nu(\delta,z)</math>
:Aqui, <math>\delta z</math> é a [[transformação de Möbius|transformação de Möbius, ou transformação linear fracional]] de <math>z</math> by <math>\delta</math>.
:4.Se <math>-I\in\Gamma</math>, então para todo <math>z\in\mathbb{H}</math> e <math>\gamma\in\Gamma</math>, tem-se
::<math>\nu(-\gamma,z)=\nu(\gamma,z)</math>
:Aqui, ''I'' denota a [[matriz identidade]].
== Propriedades ==
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