Forma modular: diferenças entre revisões
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A teoria da forma modular é um caso especial da teoria mais geral das [[Automorfismo|formas automórficas]] e portanto pode ser considerada como a parte mais concreta da amplia [[teoria de grupos]] discretos.
== Como uma função sobre períodos ==
Uma forma modular pode ser entendida como uma função ''F'' do conjunto de [[Par fundamental de períodos|períodos]] Λ em '''C''' do conjunto de [[número complexo|números complexos]] o qual satisfaz certas condições:
:(1) Se nós considerarmos o retículo <math>\Lambda = \langle \alpha, z\rangle</math> gerado por uma constante α e uma variável ''z'', então ''F''(Λ) é uma [[função analítica]] de ''z''.
:(2) Se α é um [[número complexo]] não nulo e αΛ é o retículo obtido pela multiplicação de cada elemento de Λ por α, então ''F''(αΛ) = α<sup>−''k''</sup>''F''(Λ) onde ''k'' é a constante (tipicamente um inteiro positivo) chamado de '''peso''' da forma.
:(3) O [[valor absoluto]] de ''F''(Λ) mantem-se limitado acima assim como o valor absoluto do menor elemento não nulo em Λ é limitado além de 0.
Quando ''k'' = 0, a condição 2 implica que ''F'' depende somente da [[similaridade]] da classe do retículo. Isto é um caso especial muito importante, mas somente as formas modulares de peso 0 são as constantes. Se nós eliminarmos a condição 3 e permitir que a função tenha pólos, então os exemplos com peso 0 existem: elas são chamadas ''funções modulares''.
A situação pode ser produtiva comparada aquela que surge na busca por funções sobre o [[espaço projetivo]] P(''V''): nesse cenário, seria ideal como funções ''F'' sobre o espaço vetorial ''V'' as quais são polinomiais nas coordenadas de ''v''≠ 0 em ''V'' e satisfaz a equação ''F''(''cv'') = ''F''(''v'') para todo ''c'' não nulo. Infelizmente, tais funções são as únicas constantes. Se permitirmos que denominadores (funções racionais em vez de polinômios), nós podemos fazer ''F'' ser a razão de dois polinômios [[Função homogênea|homogêneos]] do mesmo grau. Alternativamente, nós podemos tratar a questão com polinômios e tornar mais livre a dependência sobre ''c'', deixando ''F''(''cv'') = ''c''<sup>''k''</sup>''F''(''v''). As soluções são então os polinômios homogêneos de grau ''k''. Por um lado, estes formam um espaço vetorial finito para cada ''k'', e noutra, se nós fizermos ''k'' variar, nós podemos encontar os numeradores e denominadores para a construção de todas as funções racionais as quais são realmente funções sobre o espaço projetivo P(''V'') subjacente.
Poderia ser perguntado, já que polinômios homogêneos não são realmente funções sobre P(''V''), o que eles seriam, geometricamente falando. A resposta dentro da [[geometria algébrica]] é que eles são ''seções'' de um [[Teoria dos feixes|feixe]] (poderia ser também dito um [[Fibrado vectorial|fibrado de linhas]] neste caso). A situação com formas modulares é precisamente análoga.
{{TA2|:en:Modular form}}
== Referências ==
* [[Jean-Pierre Serre]]: ''A Course in Arithmetic''. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. ''Chapter VII fornece uma introdução eementar à teoria das formas modulares''.
* [[Tom M. Apostol]], ''Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory'' (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
* [[Goro Shimura]]: ''Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions''. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. ''Fornece um tratamento mais avançado.''
* Stephen Gelbart: ''Automorphic forms on adele groups''. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. ''Fornece uma introdução a forms modulares do pont de vista da teoria da representação''.
* Robert A. Rankin, ''Modular forms and functions'', (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
* Stein's notes on Ribet's course [http://modular.fas.harvard.edu/MF.html Modular Forms and Hecke Operators] {{e}}
* Erich Hecke: "Mathematische Werke" , Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
* NP Skoruppa, D Zagier ''Jacobi forms and a certain space of modular forms'', Inventiones Mathematicae, 1988, Springer
[[Categoria:Teoria analítica dos números]]
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