Forma modular: diferenças entre revisões
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Poderia ser perguntado, já que polinômios homogêneos não são realmente funções sobre P(''V''), o que eles seriam, geometricamente falando. A resposta dentro da [[geometria algébrica]] é que eles são ''seções'' de um [[Teoria dos feixes|feixe]] (poderia ser também dito um [[Fibrado vectorial|fibrado de linhas]] neste caso). A situação com formas modulares é precisamente análoga.
== Como uma função sobre um conjunto de curvas elípticas ==
Cada retículo Λ em '''C''' determina uma [[curva elíptica]] '''C'''/Λ sobre '''C'''; dois retículos determinam curvas elípticas [[Isomorfismo (teoria das categorias)|isomórficas]] se e somente se uma é obtida da outra por multiplicação por algum α. Funções modulares podem ser entendidas como funções sobre o [[espaço de módulos]] de classes de isomorfismo de curvas elípticas complexas. Por exemplo, o [[j-invariante]] de uma curva elíptica, considerado como uma função sobre o conjunt de todas as curvas elípticas, é modular. Formas modulares podem também ser aproximadas de maneira prática de sua direção geométrica, como seções de fibrados de linhas sobre o espaço de módulos de curvas elípticas.
Converter uma forma modular ''F'' em uma função de uma única variável complexa é fácil. Faz-se ''z'' = ''x'' + ''iy'', onde ''y'' > 0, e faz-se ''f''(''z'') = ''F''(<1, ''z''>). (Não pode-se considerar ''y'' = 0 porque então 1 e ''z'' não irão gerar um retículo, por isso restringe-se para o caso que ''y'' é positivo.) A condição 2 sobre ''F'' agora torna-se a [[equação funcional]]
:<math>f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>
para ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' inteiros com ''ad'' − ''bc'' = 1 (o [[grupo modular Gamma|grupo modular]]). Por exemplo,
:<math>f(-1/z) = F(\langle 1,-1/z\rangle) = z^k F(\langle z,-1\rangle) = z^k F(\langle 1,z\rangle) = z^k f(z).</math>
Funções as quais satisfazem a equação funcional modular para todos as matrizes em um [[índice de um subgrupo]] finito de SL<sub>2</sub>('''Z''') são também consideradas como modulares, normalmente com um qualificador indicando o grupo. Então formas modulares de ''nível N'' (ver abaixo) satisfazem a equação funcional para matrizes congruentes para a matrix identidade de módulo ''N'' (frequentemente fato para um grupo maior dado por condições (mod ''N'') sobre os elementos da matriz.)
{{TA2|:en:Modular form}}
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