Axioma da separação: diferenças entre revisões
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O '''Axioma da separação''' (também conhecido como '''Axioma da compreensão''' ou '''Axioma de especificação''') é um dos axiomas (ou, mais precisamente, um dos esquemas de axiomas) que fazem parte dos [[Axiomas de Zermelo-Fraenkel]] da [[Teoria dos Conjuntos]].
▲O '''Axioma da separação''' (também conhecido como '''Axioma da compreensão''' ou '''Axioma de especificação''') é um dos axiomas (ou, mais precisamente, um dos esquemas de axiomas) que fazem parte dos [[Axiomas de Zermelo-Fraenkel]] da [[Teoria dos Conjuntos]].
Essencialmente, o axioma diz que se um conjunto ''A'' existe, e conseguimos descrever (através de uma propriedade) elementos deste conjunto, então existe um conjunto ''B'', subconjunto de ''A'', que contém estes elementos.
Este "axioma" é, a rigor, um [[esquema de axiomas]], porque, para cada propriedade
== Axioma ==
A forma apresentada abaixo se deve a [[Kenneth Kunen|Kunen]].<ref>Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.</ref>
: Se ''z'' é um conjunto e <math>\phi\!</math> é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos ''x'' de ''z'', então existe um subconjunto ''y'' de ''z'' que contém os elementos ''x'' de ''z'' e que possuem essa propriedade.
Formalmente: qualquer fórmula <math>\phi\!</math> na linguagem da ZFC com variáveis livres entre <math>x,z,w_1,\ldots,w_n\!</math>:
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Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: para cada <math>\phi\!</math> temos um novo axioma.
''
== História ==
Na [[Teoria ingênua dos conjuntos]], o esquema usado (implicitamente) era:
: <math>\forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \iff ( \phi ) )</math>
Ou seja, qualquer fórmula define um conjunto.
Este esquema leva ao [[paradoxo de Russell]] e suas variantes, o que não acontece quando é imposta a restrição a elementos de ''z''.
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* A existência da [[interseção]] de conjuntos é garantida por este axioma. Formalmente, dados conjuntos ''y'' e ''z'', e a propriedade <math>\phi(x,y,z) = (x \in y)\,</math>, o axioma diz que existe um conjunto ''w'' tal que <math>x \in w \iff x \in z \land \phi\,</math>
== {{Ver também}} ==
{{Correlatos
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}}
{{Referências}}
{{esboço-matemática}}
{{DEFAULTSORT:Axioma Da Separacao}}
[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]
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