Lema de Borel-Cantelli: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m Bot: Adicionando: tr:Borel–Cantelli önermesi |
m Checkwiki + ajustes |
||
Linha 1:
Em [[teoria das probabilidades]], o '''[[lema (matemática)|lema]] de Borel–Cantelli''' é um [[teorema]] sobre [[sequência]]s de [[evento (teoria da probabilidade)|eventos]]. Em geral, é um resultado na [[teoria da medida]]. É nomeado em referência a [[Émile Borel]] e [[Francesco Paolo Cantelli]].
__TOC__
== Estabelecimento do lema para espaços de probabilidade ==
Fazendo-se (''E''<sub>''n''</sub>) ser uma sequência de eventos em algum [[espaço de probabilidade]].
O lema de Borel–Cantelli estabelece:
:Se a soma das probabilidade de ''E''<sub>''n''</sub> é finita
::<math>\sum_{n=1}^\infty \Pr(E_n)<\infty,</math>
:então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 0, que é,
::<math>\Pr\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) = 0.\,</math>
Aqui, "lim sup" denota [[limite superior]] da sequência de eventos, e cada evento é um conjunto de resultados. Isto é, lim sup ''E''<sub>''n''</sub> é o conjunto de resultados que ocorrem infinitamente muitas vezes dentro da sequência de eventos infinita (''E''<sub>''n''</sub>). Explicitamente,
:<math>\limsup_{n\to\infty} E_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k.</math>
O teorema entretanto afirma que se a soma das probabilidades dos eventos ''E''<sub>''n''</sub> é finita, então o conjunto de todos os resultados que são "repetidos" infinitamente (muitas vezes) devem ocorrer com probabilidade zero. Note-se que nenhuma suposição de [[independência estatística|independência]] é requerida.
=== Exemplo ===
Por exemplo, supondo que (''X''<sub>''n''</sub>) seja uma sequência de [[Variável aleatória|variáveis aleatórias]] com Pr(''X''<sub>''n''</sub> = 0) = 1/''n''<sup>2</sup> para cada ''n''. A probabilidade que ''X''<sub>''n''</sub> = 0 ocorre por infinitamente muitos ''n'' é equivalente à probabilidade da intersecção de infinitamente muitos [''X''<sub>''n''</sub> = 0] eventes. A intersecção de tais infinitamente muitos eventos é um conjunto de resultados comuns a todos eles. Entretanto, a soma
▲Por exemplo, supondo que (''X''<sub>''n''</sub>) seja uma sequência de [[Variável aleatória|variáveis aleatórias]] com Pr(''X''<sub>''n''</sub> = 0) = 1/''n''<sup>2</sup> para cada ''n''. A probabilidade que ''X''<sub>''n''</sub> = 0 ocorre por infinitamente muitos ''n'' é equivalente à probabilidade da intersecção de infinitamente muitos [''X''<sub>''n''</sub> = 0] eventes. A intersecção de tais infinitamente muitos eventos é um conjunto de resultados comuns a todos eles. Entretanto, a soma ∑Pr(''X''<sub>''n''</sub> = 0) é uma série convergente (de fato, é uma [[função zeta de Riemann]] que tende a π<sup>2</sup>/6), e então o lema de Borel–Cantelli Lemma estabelece que o conjunto de resultados que são comuns a tais infinitamente muitos eventos ocorrem com probabilidade zero. Por isso, a probabilidade de ''X''<sub>''n''</sub> = 0 ocorrendo para infinitamente muitos ''n'' é 0. [[Quase certamente]] (''i.e.'', com probabilidade 1), ''X''<sub>''n''</sub> é não nula para todos mas finitamente muitos ''n''.
== Espaços de medida gerais ==
Para [[Medida (matemática)|espaços de medida]] gerais, o lema de Borel–Cantelli toma a seguinte forma:
:Deixa μ ser uma [[Medida (matemática)|medida]] sobre um conjunto ''X'', com [[Sigma-álgebra|σ-álgebra]] ''F'', e fazendo (''A''<sub>''n''</sub>) ser uma sequência em ''F''. Se
::<math>\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty,</math>
:então
::<math>\mu\left(\limsup_{n\to\infty} A_n\right) = 0.\,</math>
== Resultado de conversão ==
Um resultado relacionado, algumas vezes chamado o '''segundo lema de Borel–Cantelli''', é um [[Conversão lógica|conversão]] parcial do primeiro lema de Borel–Cantelli. Ele diz:
:Sim os eventos ''E''<sub>''n''</sub> são [[Independência (estatística)|independente]] e a soma de probabilidades de ''E''<sub>''n''</sub> diverge do infinito, então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 1.
A suposição de independência pode ser enfraquecido a [[independência paritária]], mas neste caso a demonstração é mais difícil.
O [[teorema do macaco infinito]] é um caso especial deste lema.
O lema pode ser aplicado para dar cobertura ao teorema em '''R'''<sup>''n''</sup>. Especificamente (Stein 1993, Lemma X.2.1<ref>[[Elias M. Stein|Stein, Elias]] (1993), ''Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals'', Princeton University Press .</ref>), se ''E''<sub>''j''</sub> é uma coleção de subconjuntos [[Medida de Lebesgue|mensurávei de Lebesgue]] de um [[Espaço compacto|conjunto compacto]] em '''R'''<sup>''n''</sup> tais que
:<math>\sum_j \mu(E_j) = \infty,</math>
então existe uma sequência ''F''<sub>''j''</sub> de transformações
:<math>F_j = E_j + x_j</math>
tais que
:<math>\lim\sup F_j = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} F_k = \mathbb{R}^n</math>
aparte de um conjunto de medida zero.
== Contrapartida ==
Outro resultado relacionado é o assim chamado '''contrapartida do lema de Borel–Cantelli'''. É uma contrapartida do
Lema no sentido que fornece uma condição necessária e suficiente para o limite superior ser 1 por substituir uma suposição de independência pela suposição completamente diferente que <math>(A_n)</math> é monótona crescendo para índices suficientemente grandes. Este Lema afirma:
Fazendo-se <math>(A_n)</math> ser tal que <math>A_k \subseteq A_{k+1}</math>,
e fazendo <math>\bar A</math> denotar o complemento de <math>A</math>. Então a probabilidade de infinitamente muitos <math>A_k</math> ocorre (que é, ao menos um <math>A_k</math> ocorre) é um se e somente se existe uma sequência estritamente crescente de inteiros positivos <math>( t_k)</math> tal que
: <math> \sum_{k} \Pr( A_{t_{k+1}}| \bar A_{t_k}) = \infty. </math>
Este simples resultado pode ser útil em problemas tais como no caso daqueles que envolvem precisar probabilidades para [[processo estocástico|processos estocásticos]] com a escolha da sequência <math>(t_k)</math> normalmente sendo a essencial.
== Referências ==▼
* Prokhorov, A.V. (2001), "[http://eom.springer.de/B/b017040.htm Borel–Cantelli lemma]", in Hazewinkel, Michiel, ''[[Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopaedia of Mathematics]]'', Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 ▼
* [[William Feller|Feller, William]] (1961), ''An Introduction to Probability Theory and Its Application'', John Wiley & Sons .▼
▲* Prokhorov, A.V. (2001),
▲* [[William Feller|Feller, William]] (1961), ''An Introduction to Probability Theory and Its Application'', John Wiley & Sons .
* Bruss, F. Thomas (1980), "A counterpart of the Borel Cantelli Lemma", ''J. Appl. Prob.'' '''17''': 1094–1101 .
== {{Ligações externas}} ==▼
*
▲== Ligações externas ==
{{Portal3|Matemática}}
{{DEFAULTSORT:Lema De Borel Cantelli}}
▲* [http://planetmath.org/encyclopedia/BorelCantelliLemma.html Planet Math Proof] Referências par uma demonstração simples para o lema de Borel Cantelli Lemma
[[Categoria:Teoria da medida]]
[[Categoria:Teoria das probabilidades]]
| |||