Teorema de Euclides: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m Checkwiki + ajustes (2.2) |
|||
Linha 5:
Existem várias demonstrações bem conhecidas desse teorema.
== A demonstração de Euclides ==
[[
[[Euclides]] ofereceu uma demonstração em sua obra [[Os Elementos]] (Livro IX, Proposição 20),<ref>James Williamson (translator and commentator), ''The Elements of Euclid, With Dissertations'', Clarendon Press, Oxford, 1782, page 63.</ref> demonstração aqui [[Paráfrase|parafraseada]]:
Linha 19:
Então, <math>q \,\!</math> pode ser primo ou não:
* Se ''q'' é primo então há pelo menos um número primo a mais que não está listado.
* Se ''q'' não é primo, então algum [[fator primo]] ''p'' divide ''q''. Esse fator ''p'' não está na nossa lista ''L'': se estivesse, ele dividiria ''P'' (pois ''P'' é o produto de todos os número na lista); mas como sabemos, ''p'' divide ''P'' + 1 = ''q''. Então, para não deixar resto, ''p'' teria que dividir a diferença entre os dois números, que é (''P'' + 1) − ''P'' ou seja, 1. Mas não existe número primo que divida 1, assim haveria uma contradição, logo, ''p'' não pode estar na lista. Isso significa que pelo menos mais um número primo existe além dos que estão na lista.▼
▲*Se ''q'' não é primo, então algum [[fator primo]] ''p'' divide ''q''. Esse fator ''p'' não está na nossa lista ''L'': se estivesse, ele dividiria ''P'' (pois ''P'' é o produto de todos os número na lista); mas como sabemos, ''p'' divide ''P'' + 1 = ''q''. Então, para não deixar resto, ''p'' teria que dividir a diferença entre os dois números, que é (''P'' + 1) − ''P'' ou seja, 1. Mas não existe número primo que divida 1, assim haveria uma contradição, logo, ''p'' não pode estar na lista. Isso significa que pelo menos mais um número primo existe além dos que estão na lista.
Isso prova que para ''qualquer'' lista finita de números primos, há um número primo que não está na lista. Portanto, existem infinitos números primos.
Linha 28 ⟶ 27:
== Demonstração por contradição ==
Suponhamos que o conjunto dos números primos seja finito: <math>\mathbb{P}=\left\{2, 3, 5, ... , p \right\}</math>.
Linha 37 ⟶ 35:
Assim, <math>m \,\!</math> é outro número primo ou é um [[número composto]] cujos fatores são números primos que não estão na lista.
Logo, nossa suposição inicial não tem lugar.
Assim, o conjunto dos números primos '''não é''' finito. O que prova o Teorema.
=== Exemplos ===
Se o conjunto <math>P\,\!</math> que aparece na demonstração do teorema for constituído dos primeiros <math>r\,\!</math> números primos, então as fatorações de <math>n = 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot p_r + 1\,\!</math> para alguns valores de <math>r\,\!</math> são as seguintes:
Linha 63 ⟶ 60:
|}
== A demonstração de Euler ==
[[
A demonstração do [[Matemática|matemático]] [[Suíça|suíço]] [[Leonhard Euler]] apoia-se no [[teorema fundamental da aritmética]]: que cada número tem uma única fatorização prima. Sendo ''P'' o conjunto de todos os números primos, Euler escreveu que:
== A demostração de Furstenberg ==
{{Artigo principal|[[Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos]]}}
O [[Matemática|matemático]] [[
{{
== {{Ver também}} ==
{{Wikilivros|Teoria de números|Números primos#Teorema de Euclides|Teorema de Euclides}}
Linha 82 ⟶ 79:
* [[Teorema de Dirichlet]] sobre progressões aritméticas
== {{Ligações externas}} ==
* Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html Euclid's Theorem] no site [[MathWorld]].
*
{{Portal3|Matemática}}
{{DEFAULTSORT:Teorema Euclides}}
[[Categoria:Teoremas de matemática]]
[[Categoria:Números primos]]
| |||