Transformada de Legendre: diferenças entre revisões

A '''Transformadatransformada de Legendre''' consiste em uma transformação [[matemática]] que, quando aplicada sobre uma [[função]] <math> Y = Y_{(X_0 , X_1, X_2, ... X_n)} </math> sabidamente [[função diferenciável|diferenciável]] em relação às suas [[variável independente|variáveis independentes]] <math> x_i </math> , fornece como resultado uma nova [[equação]] na qual as [[derivada parcial|derivadas parciais]] <math> P_i = \frac{\part Y_{(X_0, X_1, ... X_n)}}{\part x_i}</math> associadas, e não as variáveis <math> x_i </math> em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita", <math> \Psi = \Psi_{(P_0 , P_1, P_2, ... P_n)} </math>. A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação. <ref> A redação da maior parte deste artigo dá-se em acordo com o descrito em Callen, Herbert B. - Thermodynamics and An Introduction to Thermostatics - John Wiley & Sons - ISBN 0-471-86256-8 </ref>

Em termodinâmica, cada [[sistema]] em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por [[equação fundamental]], uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no [[equilíbrio termodinâmico]] encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviameteobviamente calculáveis a partir das condições iniciais.

Para tal, considere a reta tangente à curva <math> Y_{(X)} </math> no ponto expecíficoespecífico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto <math> \psi </math> onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:

Se &fnof; é [[diferencial|diferenciável]], então &fnof;^&lowast;(''p'') pode ser interpretado como o '''negativo''' <ref>Em termodinâmciatermodinâmica e em várias outras situaçoessituações não considera-se este sinal, devendo tomar-se algum cuidado quanto ao mesmo, conforme mais adiante explicado no presente texto. </ref> do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de &fnof;. Em particular, para o valor de ''x'' associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:

A exemplo, aplicar-se-á a transformada de legendreLegendre à função <math>Y_{(X)}=X^2</math>