Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder: diferenças entre revisões
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== Demonstração ==
Esta demonstração faz uso do conjunto dos números naturais, cuja existência é um dos axiomas da Teoria dos Conjuntos (o [[axioma do infinito]])<ref>[http://www.mathpath.org/proof/Sch-Bern/proofofS-B.htm Ver esta demonstração, exemplificada com gráficos]</ref>
Para cada <math>n\in\mathbb{N}</math> definimos <math>h_n : A \to A</math>, por <math>h_n=(gof)^n</math>, composição de ''n'' fatores iguais a <math>gof</math>. Observamos que <math>h_0=Id_A</math>. Note que o fato de <math>g</math> e <math>f</math> serem injetivas implica a injetividade de <math>h_n</math>.
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Por fim, dado <math>b\in B</math> temos duas possibilidades: <math>g(b)\not\in X</math> ou <math>g(b)\in X</math>. No primeiro caso, temos que <math>H(g(b))=g^{-1}(g(b))=b</math> e no segundo caso, como foi observado, teremos que <math>f^{-1}(b)\in X</math> e daí, <math>H(f^{-1}(b))=f(f^{-1}(b))=b</math>. Portanto, ''H'' trata-se de uma bijeção.
== Demonstração de Banach ==
[[Stefan Banach]] observou que o que a demonstração acima faz é decompor cada conjuntos ''A'' e ''B'' em duas partes disjuntas, de forma que a função ''f'' transforma (bijetivamente) uma parte de ''A'' em uma parte de ''B'', e ''g<sup>-1</sup>'' transforma (bijetivamente) a outra parte de ''A'' na outra parte de ''B''<ref name="banach">[http://www.hinkis.org/HTML_pages/..%5CMathematical_papers%5C15_01_Banach_CBT_02.pdf Banach's proof of the Cantor-Bernstein theorem]</ref>.
Mais precisamente:
: Sejam ''A'' e ''B'' conjuntos, <math>f: A \to B\,</math> uma função injetiva e <math>G: S \subseteq A \to B\,</math> uma função sobrejetiva. Então é possível particionar <math>A = A_1 \cup A_2\,</math>, <math>B = B_1 \cup B_2\,</math>, com <math>A_1 \cap A_2 = B_1 \cap B_2 = \varnothing\,</math> e de forma que ''f'' e ''G'' quando restritas, respectivamente, a ''A<sub>1</sub>'' e ''A<sub>2</sub>'' sejam bijeções, respectivamente, com ''B<sub>1</sub> e ''B<sub>2</sub>''.
O teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder segue imediatamente como corolário, porque sendo <math>g: B \to A\,</math> injetiva, então <math>G: g(A) \to B\,</math> é a função bijetiva definida pela injetividade de ''g''.
A demostração encontra-se na referência<ref name="banach" />
== Referências ==
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