Forma canônica de Jordan: diferenças entre revisões

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polinômio característico escrito como p(x) e não como p(\lambda), já que estamos usando \lamba para as raízes
(polinômio característico escrito como p(x) e não como p(\lambda), já que estamos usando \lamba para as raízes)
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A '''forma canônica de Jordan''' é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz [[matriz semelhante|semelhante]] à original que é ''quase'' uma [[matriz diagonal]]. No corpo dos números complexos, esta forma é uma [[matriz triangular]] superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.
=== Caso complexo ===
Se <math>K = \mathbb{C}</math>, escrevamos o polinômio característico de ''T'' na forma
<center><math>p_T(\lambdax)=(\lambdax-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambdax-\lambda_n)^{m_n}</math>,</center>
com <math>\lambda_r\neq\lambda_s</math> se <math>r\neq s</math>.
 
=== Caso real ===
Se <math>K = \mathbb{R}</math>, escrevamos o polinômio característico de ''T'' na forma
<center><math>p_T(\lambdax)=(\lambdax-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambdax-\lambda_n)^{m_n}((\lambdax-\alpha_1)^2+\beta_1^2))^{p_1}\cdots((\lambdax-\alpha_k)^2+\beta_k^2))^{p_k}</math>,</center>
onde <math>\alpha_r+i\beta_r</math> é uma raiz complexa de ''p<sub>T</sub>'', com <math>\lambda_r\neq\lambda_s</math> e <math>(\alpha_r,|\beta_r|)\neq(\alpha_s,|\beta_s|)</math> se <math>r\neq s</math>.
 
== Teorema (de Jordan) ==
Sejam ''V'' um ''K''-espaço vetorial de dimensão finita e ''T'' um operador linear de ''V''. Se <math>K = \mathbb{C}</math> e
<center><math>p_T(\lambdax)=(\lambdax-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambdax-\lambda_n)^{m_n}</math>,</center>
com <math>\lambda_r\neq\lambda_s</math> se <math>r\neq s</math>, <math>\lambda_r \in \mathbb{C}</math>, então existe uma base na qual a matriz de ''T'' é da forma
<center><math>J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_n)</math>,</center>
 
Se <math>K = \mathbb{R}</math> e
<center><math style="vertical-align:baseline;">p_T(\lambdax)=(\lambdax-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambdax-\lambda_n)^{m_n}((\lambdax-\alpha_1)^2+\beta_1^2)^{p_1}\cdots((\lambdax-\alpha_k)^2+\beta_k^2)^{p_k}</math>,</center>
onde <math>\alpha_r+i\beta_r</math> é uma raiz complexa de ''p<sub>T</sub>'' com <math>\lambda_r\neq\lambda_s</math> e <math>(\alpha_r,\beta_r)\neq(\alpha_s,\beta_s)</math> se <math>r\neq s</math> (<math>\beta_r>0</math>), então existe uma base com relação à qual a matriz de ''T'' é da forma
<center><math>J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_n,R_1,\ldots,R_k),</math></center>
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