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Transformada de Legendre: diferenças entre revisões

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A '''transformada de Legendre''' consiste em uma transformação [[matemática]] que, quando aplicada sobre uma [[função]] <math> Y = Y_{(X_0 , X_1, X_2, ... X_n)} </math> sabidamente [[função diferenciável|diferenciável]] em relação às suas [[variável independente|variáveis independentes]] <math> x_i </math> , fornece como resultado uma nova [[equação]] na qual as [[derivada parcial|derivadas parciais]] <math> P_i = \frac{\part Y_{(X_0, X_1, ... X_n)}}{\part x_i}</math> associadas, e não as variáveis <math> x_i </math> em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita", <math> \Psi = \Psi_{(P_0 , P_1, P_2, ... P_n)} </math>. A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação. <ref> A redação da maior parte deste artigo dá-se em acordo com o descrito em Callen, Herbert B. - Thermodynamics and An Introduction to Thermostatics - John Wiley & Sons - ISBN 0-471-86256-8 </ref>
 
== A Transformada de Legendre e a Termodinâmica ==
A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área da [[Física]] conhecida por [[Termodinâmica]], área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos, [[moléculas]] em uma amostra confinada de [[gás]], a exemplo.
 
=== Equação fundamental e Equação de estado ===
 
Em termodinâmica, cada [[sistema]] em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por [[equação fundamental]], uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no [[equilíbrio termodinâmico]] encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir das mesmas.
 
 
As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para a [[entropia]] S em um [[gás ideal]] será dependente das grandezas [[volume]] (V), [[quantidade de matéria|número de partículas]] (e não de [[mol|moles]]es) N, e da [[Energia Interna]] U: <math> S = S_{(U, V, N)} </math>. No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em <math> S_{(U,V,N)} </math> tem-se facilmente <math> U_(S,V,N) </math>, também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo a [[Gás ideal#Equação de Clapeyron|equação de Clapeyron]] <math> PV=NRT </math> e a equação da energia <math> U = \frac{n}{2} K_bT </math> (n= 3; 5; ... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.
 
Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron <math> P_{(V,T, N)}</math> e a da energia <math> U = U_{(T)} </math>, em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com <math> k_B </math> representando a [[constante de Boltzman]] e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a [[análise dimensional]], não explicitamente indicadas aqui <ref> A saber, o expoente em funções exponenciais e o argumento em logaritmos devem ser adimensionais. Para maiores detalhes, consulte a versão anglófona do artigo [[:en:Ideal Gas#Entropy|Gases ideais]]. </ref>:
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<math> U_{(S,V,N)} = N (\frac {N}{V})^{(2/3)} e^{[\frac{2}{3} (\frac {S}{Nk_B} -c)]} </math>
 
 
Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as [[grandeza intensiva|grandezas intensivas]] como a pressão <math> P </math> , temperatura <math> T </math>, e potencial químico <math> \mu </math> ( onde <math>P= -\frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part V} </math> , <math> \mu = \frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part N} </math> e <math> T= \frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part S} </math> no formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que as [[grandeza extensiva|grandezas extensivas ]] como o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.
 
=== Representações no Formalismo da Energia ===
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* A [[energia livre de Helmholtz]] F, onde <math> F = F_{(T, V, N)} </matH>: decorre da substituição da grandeza extensiva S em <math> U = U_{(S, V, N)} </matH> pela correspondente grandeza conjugada, T, mediante F= U-TS , sendo <math> F = F_{(T, V, N)} </matH> "mais adequada" para o estudo das [[transformação isotérmica|transformações isotérmicas]].
 
 
* A [[entalpia]] H, onde <math> H = H_{(S, P, N)} </matH>: decorre da substituição da grandeza extensiva V em <math> U = U_{(S, V, N)} </matH> pela correspondente intensiva, P, mediante H= U+PV , sendo <math> H = H_{(S, P, N)} </matH> "mais adequada" para o estudo das [[transformação isobárica|transformações isobáricas]].
 
 
* A [[energia livre de Gibbs]] G, onde <math> G = G_{(T, P, N)} </matH>: decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e da grandeza extensiva V pela correspondente grandeza conjugada P em <math> U = U_{(S, V, N)} </matH>, mediante G= U-TS+PV , sendo <math> G = G_{(T, P, N)} </matH> "mais adequada" para o estudo de processos que ocorrem à temperatura e pressão constantes.
 
 
* O [[Grande potencial canônico]] ,<math> C = C_{(T,V, \mu_1,\mu_2...)} </math>, decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e das grandezas extensivas <math>N_i</math> pelas correspondentes intensivas <math> \mu_i </math> em <math> U = U_{(S, V, N_1, N_2...)} </matH>, mediante <math> C= U-TS- \Sigma \mu_i N_i </math> , sendo <math> C = C_{(T,V,...,\mu_i)} </matH> "mais adequada" para o estudo de processos onde ocorrem várias substâncias misturadas (N_1, N_2,...) e, mesmo em caso de substância única, trocas de partículas à temperatura constante.
 
 
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Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação [[geometria|geométrica]] da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função <math> Y_{(X)} </math> dependente de apenas uma variável independente, X.
 
Sendo <math> P = \frac {\part {Y_{(X)}}}{\part x} = \frac { d{Y_{(X)}}}{dx} </math> no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função <math> Y_{(P)} </math> onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em <math> Y_{(X)} </math> mediante a relação estabelecida entre P e X por <math> P = \frac { d{Y_{(X)}}}{dx} </math>. Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido <math> Y_{(P)} </math>, não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial <math> Y_{(X)} </math>. Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial <math> Y_{(X)} </math> é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial <math> Y_{(X)} </math> partindo-se de <math> Y_{(P)} </math>, a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.
 
 
A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação de que qualquer equação <math> Y_{(P)} </math> que permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equação <math> Y_{(X)} </math> da curva.
 
Para tal, considere a reta tangente à curva <math> Y_{(X)} </math> no ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto <math> \psi </math> onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:
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<math> \psi = Y - PX </math>
 
Como as expressões <math> Y_{(X)} </math> e <math> P = P_{(X)} </math> são conhecidas, uma simples álgebra matemática permite a eliminação de X e Y em favor de P e <math> \psi </math> na equação acima, o que fornece a procurada relação <math> \psi = \psi_{(P)} </math>. Esta relação claramente permite a reconstrução de cada uma das retas tangentes com precisão, pois fornecendo-se o valor da inclinação P de uma delas, sabe-se com clareza, então, o ponto <math> \psi </math> onde esta reta deve interceptar o eixo Y.
 
Para recuperar-se a equação original <math> Y_{(X)} </math> partindo-se da equação <math> \psi_{(P)} </math>, basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica, ''exceto por um sinal de menos na equação de transformação''<ref> O leitor é alertado neste ponto sobre algumas sutilezas na(s) definição(ões) de Transformada de Legendre, devendo o mesmo proceder a leitura da seção [[Transformada de Legendre#Ao rigor da Matemática#Consideração importante|Consideração importante]] para maiores detalhes. </ref>, à sua inversa. Assim, aparte um sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).
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=== Ao rigor da Matemática <ref> Conforme tradução parcial do artigo encontrado na [[:en:Legendre Transformation|versão anglófona]] da Wikipédia em 14 de fevereiro de 2010 às 22:58 horas. </ref> ===
 
==== Definições ====
 
Em [[matematica]], a Transformada de Legendre, em homenagem a [[Adrien-Marie Legendre]], é uma operação que transforma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função &fnof;ƒ é a função &fnof;ƒ<sup>&lowast;∗</sup> definida por:
 
 
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Se &fnof;ƒ é [[diferencial|diferenciável]], então &fnof;ƒ<sup>&lowast;∗</sup>(''p'') pode ser interpretado como o '''negativo''' <ref>Em termodinâmica e em várias outras situações não considera-se este sinal, devendo tomar-se algum cuidado quanto ao mesmo, conforme mais adiante explicado no presente texto. </ref> do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de &fnof;ƒ. Em particular, para o valor de ''x'' associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:
 
 
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Isto é, a derivada da função &fnof;ƒ torna-se o argumento da função &fnof;ƒ<sup>&lowast;∗</sup>. Em particular, se &fnof;ƒ é [[função convexa|convexa]] (ou côncava para cima), então &fnof;ƒ<sup>&lowast;∗</sup> satisfaz a definição de um [[funcional]].
 
 
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A Transformada de Legendre é sua própria inversa. Da mesma forma que as [[transformada integral|transformadas integrais]], a Transformada de Legendre pega uma função &fnof;ƒ(''x'') e fornece uma função de uma variável diferente ''p''. Entretanto, enquanto as transformadas integrais consistem em integrais com um núcleo, a transformada Legendre usa o processo de maximização como processo de transformação. A transformada de Legendre é especialmente "bem-comportada" se &fnof;ƒ(''x'') é uma [[função convexa]].
 
A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada por ''f''(''x'') pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (''x'', ''y''), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y.
 
A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer a [[Transformada de Legendre-Fenchel]].
Linha 117:
 
 
:<math>p = {\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}. \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ (2)</math>
 
 
Linha 123:
 
 
:<math>{\mathrm{d}^2 \over \mathrm{d}x^2}(xp-f(x)) = -{\mathrm{d}^2f(x) \over \mathrm{d}x^2} < 0,</math>
 
 
Linha 132:
 
 
Esta definição fornece o processo convencional para se calcular a transformada de Legendre de <math>f(x)</math>: encontre <math>p = {df \over dx}</math>, inverta para <math>x</math> e substitua o resultado em <math>xp-f(x)</math>. Esta definição torna clara a seguinte interpretação: a Transformada de Legendre produz uma nova função, na qual a variável independente <math>x</math> é substituída por <math>p = {df \over dx}</math>, o qual é a derivada da função original em respeito a <math>x</math>.
 
==== Consideração importante ====
Linha 156:
 
 
Vê-se que <math>Df</math> e <math>Df^\star</math> são inversas, conforme prometido. Elas são unívocas a menos de uma constante aditiva que é fixada pelo requerimento adicional de que:
 
 
Linha 172:
 
=== Exemplos ===
==== Com uma variável ====
A exemplo, aplicar-se-á a transformada de Legendre à função <math>Y_{(X)}=X^2</math>
 
Linha 179:
Da linha 2:
 
<math>P=\frac {\part Y_{(X)}}{\part X} = 2X </math>
 
Logo, para a linha 3: <math> X = \frac {p}{2} </math>
 
 
e <math> Y = X^2 = (\frac {p}{2})^2 </math>
 
 
Da linha 4: <math> \Psi = -PX + Y </math>
 
 
Linha 205:
A transformação inversa ficará a cargo do leitor.
 
==== Com duas ou mais variáveis ====
A título de ilustração calcular-se-á a energia livre de Helmholtz <math> F_{(T,V,N)} </math> para um gás ideal partindo-se da equação fundamental para a energia interna <math> U_{(S,V,N)} </math>.
 
Linha 214:
 
 
da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:
 
 
Linha 270:
 
 
== Novamente termodinâmica, e mecânica clássica ==
 
=== Termodinâmica: tabelas de transformadas ===
Linha 278:
<table border="1" cellpadding="10" align="center">
 
<caption>Transformadas de Legendre na Termodinâmica - Formalismo da Energia - Partindo-se de <math> U_{(S,V,N)} </math> tem-se: </caption>
 
<tr><th><math>U=U_{(S,V,N_1,N_2...)}</math></th><th><math>U=U_{(S,V,N_1,N_2...)}</math></th><th><math>H=H_{(S,P,N_1,N_2...)}</math></th><th><math>F = F_{(T,V,N_1,N_2...)} </math></th></tr>
Linha 315:
 
</table>
=== Lagrangeanas e Hamiltonianos ===
No contexto da [[mecânica clássica]] o [[Princípio de Lagrange|princípio de Lagrange]]
<ref>Para maiores detalhes sobre os formalismos de Lagrange e de Hamilton consulte Thornton; Marion - Classical Dynamics of Particle and Systems Fourth Edition - Sounders College Publishing, 1995 - ISBN 0-03-097302-3</ref>
garante que uma função particular, a [[Lagrangeana]] do sistema, caracteriza-o completamente no que se refira à sua [[dinâmica]]. A Lagrangeana é uma função de 2r variáveis, r [[coordenada generalizada|coordenadas generalizadas]] e r velocidades generalizadas, e desempenha em mecânica, de forma similar ao de <math> S_{(U,V,N)} </math> na termodinâmica, o papel de equação fundamental para a dinâmica:
Linha 342:
As hamiltonianas são particularmente importantes no estudo da [[mecânica quântica]].
 
==== Exemplo ====
 
[[ImagemFicheiro:Simple harmonic oscillator.gif|right|frame|Oscilador harmônico simples ideal. O estudo deste sistema pode ser feito através do conhecimento de sua [[Lagrangeana]] ou de seu [[Hamiltoniano]]. Conhecida um destas [[funções]], obtém-se facilmente a outra através da Transformada de Legendre]]
 
Inicialmente determinar-se-á a Lagrangeana e posteriormente o Hamiltoniano para um [[oscilador harmônico]] unidimensional constituído de uma [[massa]] presa em uma das extremidades de a uma [[mola]] e apoiada em uma mesa sem [[atrito]].
Linha 466:
{{Refsection}}
 
== Ver também ==
 
* [[Joseph-Louis Lagrange]]
 
* [[Transformada integral]]
 
* [[Mecânica hamiltoniana]]
 
* [[Mecânica lagrangeana]]
 
* [[Termodinâmica]]
 
[[Categoria:Termodinâmica]]
Linha 482:
 
[[de:Legendre-Transformation]]
[[es:Transformada de Legendre]]▼
[[en:Legendre transformation]]
▲[[es:Transformada de Legendre]]
[[fr:Transformation de Legendre]]
[[it:Trasformata di Legendre]]▼
[[he:התמרת לז'נדר]]
▲[[it:Trasformata di Legendre]]
[[ja:ルジャンドル変換]]
[[ro:Transformarea luiTransformare Legendre]]
[[ru:Преобразование Лежандра]]
[[sq:Transformimi i Lezhandrit (Legendres)]]▼
[[sl:Legendrova transformacija]]
▲[[sq:Transformimi i Lezhandrit (Legendres)]]
[[zh:勒壤得轉換]]
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