Diferenças entre edições de "Fração contínua"

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Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma <math>\frac{1}{2}</math>, bem como <math>\frac{5}{10}</math>. A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.
'''Fração contínua''', ou também chamada de '''fração continuada''', é um número real escrito na forma <math>a_0+\frac{b_0}{a_1+\frac{b_1}{a_2+\frac{b_2}{\ddots}}}</math> .
 
Uma '''fração continuada''', também chamada '''fração contínua''' é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma
<math>a_0 + \frac{b_1}{a_1 + \frac{b_2}{a_2 +\frac{b_3}{a_3 +\cdots}}}</math>, em que o primeiro termo, <math>a_0</math>, é um número inteiro e os demais números <math>a_1, a_2, \ldots, b_1, b_2, \ldots, </math> são números inteiros positivos.
 
== Fração contínua simples ==
Uma fração contínua é simples se <math>b_j=1,\,j=1,2,...,n,...</math> , ou seja, <math>a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+...}}</math>.
Este tipo de fração pode ser representado como <math>[a_0; a_1, a_2, ...]\,</math>.
 
Uma '''fração continuada simples''' é uma expressão da forma <math>a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3 + \frac{1}{\ddots}}}}</math>, em que todos os números <math>b_j</math> são iguais a 1. Uma expressão da forma <math>a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_n}}}}</math> é chamada '''fração continuada simples finita'''. Tais representações podem ser denotadas respectivamente por <math>[a_0; a_1, \ldots, a_n]</math> e <math>[a_0; a_1, a_2, a_3, \ldots]</math>. Nessa notação, o termo <math>a_0</math> é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado. Por exemplo, <math>\frac{10}{7} = 1+ \frac{3}{7} = 1+ \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{3}}</math>, que pode ser denotada por <math>\frac{10}{7} = [1; 2, 3]</math>.
* Uma fração contínua simples é [[finita]] se puder ser expressa na forma: <math>a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+...\frac{1}{a_{n-1}+\frac{1}{a_n}}}}</math>
 
Um exemplo mais detalhado: a representação do número <math>\frac{344}{77}</math> na forma de fração continuada.
 
Usando o algoritmo da divisão, tem-se: <math>344 = 4 \times 77 + 36</math>. Logo,
<math>\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77}</math>.
 
Como a fração no lado direito da expressão anterior é própria, é possível escrevê-la na forma
<math>\frac{1}{\frac{77}{36}}</math>. Assim, tem-se:
<math>\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77} = 4 + \frac{1}{\frac{77}{36}}</math>.
 
A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo,
<math>\frac{77}{36} = 2+\frac{5}{36} = 2+\frac{1}{\frac{36}{5}}</math>.
 
Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado:
<math>\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77} =
4 + \frac{1}{\frac{77}{36}} = 4 + \frac{1}{2+\frac{1}{\frac{36}{5}}} =
4 + \frac{1}{2+\frac{1}{7+\frac{1}{5}}}</math>.
 
Observa-se que não há como ir além desse resultado pois na divisão de 5 por 1 o resto é igual a 0 e, portanto, o cálculo termina. Por esse motivo, a representação do número <math>\frac{344}{77}</math> na forma de fração continuada é '''finita''' e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].
É interessante observar que a representação decimal do número <math>\frac{344}{77}</math> é infinita e a representação
na forma de fração continuada é finita.
 
 
Toda fração continuada finita representa um número racional e, reciprocamente, todos os racionais podem ser escritos na forma de uma fração continuada finita.
 
 
 
 
* Uma fração contínua simples é [[periódica]] se (e somente se) essa fração representar um [[número irracional|irracional]] que é a solução real positiva de uma [[equação quadrática]].
 
{{Esboço-matemática}}