Fração contínua: diferenças entre revisões

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<math>a_0 + \frac{b_1}{a_1 + \frac{b_2}{a_2 +\frac{b_3}{a_3 +\cdots}}}</math>, em que o primeiro termo, <math>a_0</math>, é um número inteiro e os demais números <math>a_1, a_2, \ldots, b_1, b_2, \ldots, </math> são números inteiros positivos.
 
== FraçãoFrações contínuaContinuadas simplesSimples ==
 
Uma '''fraçãoFrações continuadacontinuadas simples''' ésão uma expressãoexpressões da forma <math>a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3 + \frac{1}{\ddots}}}}</math>, em que todos os números <math>b_j</math> são iguais a 1. Uma expressão da forma <math>a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_n}}}}</math> é chamadauma '''fração continuada simples '''finita'''. Tais representaçõesexpressões podem ser denotadas respectivamente por <math>[a_0; a_1, \ldotsa_2, a_na_3, \ldots]</math> e <math>[a_0; a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n]</math>. NessaObserve notação,que o termo <math>a_0</math> é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado. Por exemplo, <math>\frac{10}{7} = 1+ \frac{3}{7} = 1+ \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{3}}</math>, que pode ser denotada por <math>\frac{10}{7} = [1; 2, 3]</math>.
 
Exemplos:
Um exemplo mais detalhado: a representação do número <math>\frac{344}{77}</math> na forma de fração continuada.
<math>\frac{10}{7} = 1+ \frac{3}{7} = 1+ \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{3}} = [1; 2, 3]</math>
 
<math>-\frac{18}{5} = -4 + \frac{2}{5} = -4 + \frac{1}{\frac{5}{2}} = -4 + \frac{1}{2+\frac{1}{2}} = [-4; 2, 2]</math>
Usando o algoritmo da divisão, tem-se: <math>344 = 4 \times 77 + 36</math>. Logo,
 
Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.
 
Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao [[Algoritmo de Euclides]] para o cálculo do [[máximo divisor comum]] (MDC) entre dois números inteiros.
 
Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número <math>\frac{344}{77}</math> na forma de fração continuada.
 
Usando-se o algoritmo da [[divisão]], obtem-se <math>344 = 4 \times 77 + 36</math>. Logo,
<math>\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77}</math>.
 
Como aA fração noao lado direito da expressão anterior é uma [[fração própria,]] ée tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma
<math>\frac{1}{\frac{77}{36}}</math>. AssimCom isso, temobtem-se: a expressão <math>\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77} = 4 + \frac{1}{\frac{77}{36}}</math>.
<math>\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77} = 4 + \frac{1}{\frac{77}{36}}</math>.
 
A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, <math>\frac{77}{36} = 2+\frac{5}{36} = 2+\frac{1}{\frac{36}{5}}</math>.
<math>\frac{77}{36} = 2+\frac{5}{36} = 2+\frac{1}{\frac{36}{5}}</math>.
 
Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado:
4 + \frac{1}{2+\frac{1}{7+\frac{1}{5}}}</math>.
 
Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma <math>\frac{1}{\frac{5}{1}}</math>, chega-se à divisão de 5 por 1 ocujo resto é igual a 0. e, portanto,Portanto o cálculo termina. Por esse motivoAssim, a representação do número <math>\frac{344}{77}</math> na forma de fração continuada é '''finita''' e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].
 
É interessante observar que a representação decimal do número <math>\frac{344}{77}</math> é infinita e a representação
É interessante observar que a [[representação decimal]] do número <math>\frac{344}{77}</math> é ''infinita'', a saber, a [[dízima periódica]] 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.
na forma de fração continuada é finita.
 
É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, ''todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita''.
 
Portanto, toda ''fração continuada infinita'' é uma representação de um [[número irracional]].
 
=== Frações Continuadas Simples Infinitas ===
É conveniente denotar repetições periódicas da forma <math>[a_0; a_1, a_2, r, s, r, s, \ldots ]</math>
por <math>[a_0; a_1, a_2, \overline{r, s} ]</math>.
 
'''Exemplo.''' Vamos verificar que <math>[2; 2, 2, 2, \ldots] = [2; \overline{2}\,] = \sqrt{2}+1</math>. De fato, como
<math>(\sqrt{2}+1)\cdot(\sqrt{2}-1) = 1</math>, podemos escrever, <math>\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1} </math>
 
Também são verdadeiras as igualdades
<math>\sqrt{2}+1 = \sqrt{2} + (2 - 1) = 2 + (\sqrt{2}-1)</math>.
Pode-se concluir que
<math>\sqrt{2}+1 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}</math>
A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:
 
<math> \sqrt{2}+1 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}
= 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}}
= 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}}}
= \ldots
= 2+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}}
</math>
 
O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.
 
É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever:
<math>
x = 2+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} \iff
x-2 = \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} = \frac{1}{x} \iff
(x-2)x = 1 \iff x^2 - 2x - 1=0
</math>
 
Como <math>x</math> é um número positivo, concluímos que <math>x=1+\sqrt{2}</math>.
 
Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.
 
== Frações Parciais ==
 
Se <math>x = [a_0; a_1, a_2, \ldots]</math>, chamamos de '''convergentes''' ou '''frações parciais''' a sequência de números
racionais <math>c_0, c_1, c_2, \ldots </math> dados por:
 
<math>c_0 = a_0,
 
c_1 = a_0+\frac{1}{a_1},
 
c_2 = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}}, \cdots,
 
c_n = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{\cdots +\frac{1}{a_n}}}, \cdots </math>,
 
ou seja,
<math>c_0 = [a_0], c_1 = [a_0; a_1], c_2 = [a_0; a_1, a_2], \cdots,
c_n = [a_0; a_1, a_2, \cdots, a_n], \cdots </math>
 
A existência do limite da sequência das frações parciais <math>(c_n)_n </math> deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.
 
Alguns exemplos:
 
* O [[número de ouro]], dado por <math> \frac{1+\sqrt{5}}{2} </math> pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: <math> [1;\overline{1}\,]</math>.
Os convergentes do número de ouro são <math>[1] = 1, [1; 1] = 1+ \frac{1}{1} = 2, [1; 1, 1] = 1+ \frac{1}{1+\frac{1}{1}} =
\frac{3}{2}, [1; 1, 1, 1] = \frac{5}{3}, [1; 1, 1, 1, 1] = \frac{8}{5}, [1; 1, 1, 1, 1, 1] = \frac{13}{8}, \cdots</math>
É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro <math>(\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8},\ldots )</math>
formam a [[sequência de Fibonacci]]
<math>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \cdots</math>
 
* <math>\sqrt{3}= [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, \ldots] = [1; \overline{1, 2} ]</math>
 
* <math>\sqrt{7}= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, \ldots] = [2; \overline{1, 1, 1, 4}]</math>
 
== Contribuições Importantes ==
 
Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.
 
* [[Rafael Bombelli]] (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que
<math>\sqrt{13} = 3+ \frac{4}{6+\frac{4}{6+\frac{4}{6+\ldots}}}</math>
 
* [[William Brouncker]] (1620 – 1684) escreveu a expansão
<math> \frac{4}{\pi} = 1+ \frac{1}{2+\frac{9}{2+\frac{25}{2+\frac{49}{2+\frac{81}{2+ \ldots}}}}}</math>, que foi uma descoberta muito importante para a história do número <math>\pi</math>.
 
* [[Leonhard Euler]] (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que
explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como
frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.
 
É interessante saber que o número <math>e</math>, definido por <math>e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n</math> cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como
<math> e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \cdots]</math>
 
* [[Johann Heinrich Lambert]] (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número <math>\pi</math> é irracional, usando frações continuadas para calcular <math>\tan(x)</math> da forma
<math>\tan(x) = \frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{3}{x}-\frac{1}{\frac{5}{x} - \cdots}}}</math>
Lambert usou essa expressão para concluir que se <math>x</math> é um número
racional não nulo, então <math>\tan(x)</math> não pode ser um número racional. Sendo assim, como <math>\tan(\frac{\pi}{4})=1</math>, então <math>\pi</math> não pode ser racional.
 
Toda* fração[[Joseph-Louis continuadaLagrange]] finita(1736 representa um1813) númerodemonstrou racionalque e,''as reciprocamente,raízes todosirracionais osde racionais[[equações podemquadráticas]] sertêm escritosexpansão na forma de uma fração continuada finitaperiódica''.
 
== Referências ==
COURANT, R., ROBBINS, H. , ''O que é matemática: uma abordagem
elementar de métodos e conceitos'', Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.
 
DUNE, E., MCCONNELL, M. , ''Pianos and Continued Fractions'', Mathematics
magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.
 
OLDS, C. D. , ''Continued Fractions'', Mathematical Association of America,
V. 9, New York, 1963.
 
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