Elemento neutro: diferenças entre revisões

Em matemática, um '''Elementoelemento neutro''', em(ou [[matemática]]'''identidade'''), é aquelequalquer elemento cuja utilização numa operação matemáticabinária bem definida ''não causa alteração de identidade no outro elemento com o qual entra em operação'' — por essa razão simples a justificar a sua neutralidade operacional. Às vezes costuma ser chamado também de '''[[elemento identidade]]'''. Também pode ser chamado simplesmente — quando não houver possibilidade de confusão ou pelo uso estrito em domínio específico, inambíguo ou unívoco — de '''[[neutro]]''' ou ainda de '''[[identidade]]''' (mais infrequente).

'''Elemento neutro''' também costuma ser chamado de '''elemento identidade''', embora a primeira forma seja quase unânime entre as culturas. Com efeito, como ''um elemento com tal propriedade'' não causa alteração na identidade (natureza ou valor) do elemento com o qual é operado binariamente, é compreensível chamá-lo também "elemento identidade", no sentido de "elemento [que, doutro envolvido operando, preserva a] identidade". Essa nomenclatura, porém, é minoritariamente utilizada. Basta observar que a quase totalidade das culturas prefere o equivalente vernáculo de "elemento neutro". Exceção notável é a cultura [[anglófona]] ([[EUA]] e Cia.),{{carece que,de conquanto use também '''', prefere, todavia, , redirecionando aquela forma a esta últimafontes}}.

Dado um [[Grupóide (estrutura algébrica)|grupóide]] S, ou seja, um conjunto C munido de uma [[operação binária]] * (representa-se por S = (C, *)), dado um elemento <math>Ne \in C\,</math> tem-se que, se para todo ''a'':

# para todo ''E'',* ''Na * Ee = Ea'', então ''Ne'' é um "[[elemento neutro à esquerdadireita]]";

# para todo ''E'',* ''Na * Ee = Ea'', mas existe algum ''X'' para o qual ''Xe * NX ≠ X'': o elemento é dito "[[elemento neutro à esquerdadireita]]", ou, mais rigorosamente, "[[elemento neutro à esquerdadireita apenas]]", pois só operado à esquerdadireita inaltera o outro operando (operado à direitaesquerda podecausa-lhe causaralteração: umanão alteraçãoé, pois, neutro);.

#* Se existe um elemento neutro à direita e um elemento neutro à esquerda, então eles são iguais. A prova é simples: seja ''d'' um elemento neutro à direita e ''e'' um elemento neutro à esquerda. Como ''d'' é um elemento neutro à direita, temos que ''e * d = e''. Como ''e'' é um elemento neutro à esquerda, temos que ''e * d = d''. Logo ''e = d''.

*Dado um conjunto "<math>C"</math> e um elemento "E"<math>a</math> a ele pertecente, chama-se [[elemento inverso]] composicional, relativamente a uma dada [[Operação binária|lei de composição]] definida por <math>*_i</math> aoque elementotenha "I" (ou, mais precisamente, "I<submath>*ie</submath>" — ''para vincular ocomo elemento neutro, a umaqualquer bemelemento definida lei de composição'')<math>b</math> tal que:

:<center><math>\ Ea *_i Ib = Ib *_i Ea = Ne</math></center>