Diferenças entre edições de "Elemento neutro"

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Em matemática, um '''Elementoelemento neutro''', em(ou [[matemática]]'''identidade'''), é aquelequalquer elemento cuja utilização numa operação matemáticabinária bem definida ''não causa alteração de identidade no outro elemento com o qual entra em operação'' — por essa razão simples a justificar a sua neutralidade operacional. Às vezes costuma ser chamado também de '''[[elemento identidade]]'''. Também pode ser chamado simplesmente — quando não houver possibilidade de confusão ou pelo uso estrito em domínio específico, inambíguo ou unívoco — de '''[[neutro]]''' ou ainda de '''[[identidade]]''' (mais infrequente).
 
Esta, contudo, é uma definição simples ou ingênua da idéia de elemento neutro. A sua conceituação ou definição formal passará a ser apresentada logo a seguir.
 
==Nomenclatura==
'''Elemento neutro''' também costuma ser chamado de '''elemento identidade''', embora a primeira forma seja quase unânime entre as culturas. Com efeito, como ''um elemento com tal propriedade'' não causa alteração na identidade (natureza ou valor) do elemento com o qual é operado binariamente, é compreensível chamá-lo também "elemento identidade", no sentido de "elemento [que, doutro envolvido operando, preserva a] identidade". Essa nomenclatura, porém, é minoritariamente utilizada. Basta observar que a quase totalidade das culturas prefere o equivalente vernáculo de "elemento neutro". Exceção notável é a cultura [[anglófona]] ([[EUA]] e Cia.),{{carece que,de conquanto use também '''', prefere, todavia, , redirecionando aquela forma a esta últimafontes}}.
 
==Definição formal==
Dado um [[Grupóide (estrutura algébrica)|grupóide]] S, ou seja, um conjunto C munido de uma [[operação binária]] * (representa-se por S = (C, *)), dado um elemento <math>Ne \in C\,</math> tem-se que, se para todo ''a'':
# para todo* ''E'', ''Ne * Ea = Ea e Ea * Ne = Ea'', então o elemento ''Ne'' é dito "[[elemento neutro bilateral]]", "[[elemento neutro irrestrito]]" ou "[[Elemento identidade|elemento neutro]]" simplesmente, pois aplicado à esquerda ou aplicado à direita do outro operando, não altera o valor de ''Ea'';
 
# para todo ''E'',* ''Ee * Na = Ea'', então ''Ne'' é um "[[elemento neutro à direitaesquerda]]";
# para todo ''E'', ''N * E = E e E * N = E'', então o elemento ''N'' é dito "[[elemento neutro bilateral]]", "[[elemento neutro irrestrito]]" ou "[[Elemento identidade|elemento neutro]]" simplesmente, pois aplicado à esquerda ou aplicado à direita do outro operando, não altera o valor de ''E'';
# para todo ''E'',* ''Na * Ee = Ea'', então ''Ne'' é um "[[elemento neutro à esquerdadireita]]";
# para todo ''E'',* ''Ee * Na = Ea'', mas existe algum ''X'' para o qual ''NX * Xe ≠ X'': o elemento é dito "[[elemento neutro à direitaesquerda]]," ou, mais rigorosamente, "[[elemento neutro à direitaesquerda apenas]]", pois só operado à direitaesquerda inaltera o outro operando (operado à esquerdadireita causa-lhepode alteração:causar nãouma é, pois, neutroalteração).;
# para todo ''E'', ''E * N = E'', então ''N'' é um "[[elemento neutro à direita]]";
# para todo ''E'',* ''Na * Ee = Ea'', mas existe algum ''X'' para o qual ''Xe * NX ≠ X'': o elemento é dito "[[elemento neutro à esquerdadireita]]", ou, mais rigorosamente, "[[elemento neutro à esquerdadireita apenas]]", pois só operado à esquerdadireita inaltera o outro operando (operado à direitaesquerda podecausa-lhe causaralteração: umanão alteraçãoé, pois, neutro);.
# para todo ''E'', ''E * N = E'', mas existe algum ''X'' para o qual ''N * X ≠ X'': o elemento é dito "[[elemento neutro à direita]], ou, mais rigorosamente, "[[elemento neutro à direita apenas]]", pois só operado à direita inaltera o outro operando (operado à esquerda causa-lhe alteração: não é, pois, neutro).
 
== Propriedades ==
#* Se existe um elemento neutro à direita e um elemento neutro à esquerda, então eles são iguais. A prova é simples: seja ''d'' um elemento neutro à direita e ''e'' um elemento neutro à esquerda. Como ''d'' é um elemento neutro à direita, temos que ''e * d = e''. Como ''e'' é um elemento neutro à esquerda, temos que ''e * d = d''. Logo ''e = d''.
* O elemento neutro, se existe, é único. Se existem dois elementos neutros ''Ee'' e ''Dd'', então pela propriedade acima eles são iguais.
A prova é simples: seja ''D'' um elemento neutro à direita e ''E'' um elemento neutro à esquerda. Como ''D'' é um elemento neutro à direita, temos que ''E * D = E''. Como ''E'' é um elemento neutro à esquerda, temos que ''E * D = D''. Logo ''E = D''.
 
# O elemento neutro, se existe, é único.
Se existem dois elementos neutros ''E'' e ''D'', então pela propriedade acima eles são iguais.
 
==[[Elemento identidade|Neutro]] e [[Elemento inverso|Inverso]]==
A idéia de elemento neutro, em [[Matemática]] — ''lato sensu'', para incluir as [[Lógica]]s, as [[Lógica matemática|Lógicas matemáticas]], a [[Semiologia]] etc. — coneta-se ''logicamente'' com a idéia de [[elemento inverso]], nos seguintes termos:
*Dado um conjunto "<math>C"</math> e um elemento "E"<math>a</math> a ele pertecente, chama-se [[elemento inverso]] composicional, relativamente a uma dada [[Operação binária|lei de composição]] definida por <math>*_i</math> aoque elementotenha "I" (ou, mais precisamente, "I<submath>*ie</submath>" — ''para vincular ocomo elemento neutro, a umaqualquer bemelemento definida lei de composição'')<math>b</math> tal que:
:<center><math>\ Ea *_i Ib = Ib *_i Ea = Ne</math></center>
 
Para fixação imediata e simples de idéias, ao se tratar de ''conjuntos numéricos unidimensionais'' (aqueles definidos sobre um [[espaço vetorial]] R<sup>n</sup> = R<sup>1</sup> = R, em que "R" figura como o [[Números reais|conjunto dos números reais]] e "n" = 1 figura como a dimensão linear do espaço vetorial em exame), por exemplo, qualquer dos conjuntos numéricos que são subconjuntos amplos de R, fala-se mais comumente em: