Diferenças entre edições de "Elemento inverso"

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{{revisão-sobre|Matemática}}
 
'''Elemento inverso''', em [[matemática]], é aquele cuja utilização numa [[operação binária]] matemática bem definida ''resulta no [[elemento neutro]] específico dessa operação'' — por essa razão simples a justificar a sua inversibilidade operacional. Às vezes costuma ser chamado também de '''[[elemento oposto]]''' ou, ainda de '''[[elemento simétrico]]'''. Também pode ser chamado simplesmente — quando não houver possibilidade de confusão ou pelo uso estrito em domínio específico, inambíguo ou unívoco — de '''[[oposto]]''' ou ainda de '''[[simétrico]]''' (mais infrequente).
 
Esta, contudo, é uma definição simples ou ingênua da idéia de elemento inverso. A sua conceituação ou definição formal passará a ser apresentada logo a seguir.
 
De modo semelhante ao conceito de [[elemento neutro]] — com o qual guarda íntima conexão lógica matemática — trata-se de conceito universal, cuja [[Generalização|generalização lógica]] integra o conjunto de idéias que conduzem ao alcance — ou melhor, ''projetam o alcance'' — da extraordinária estrutura de unidade da [[Matemática]]. {{carece de fontes}}
 
==Nomenclatura==
Deve-se ter em conta, todavia, que tais usos diferenciados — ''embora sinônimos específicos legítimos'' — não ferem a unificação conceitual.
 
==DefiniçãoDefinições formalformais==
=== Em um grupoide com unidade ===
Dado um [[sistema matemático]] S, vale dizer um conjunto C munido de uma operação *, tal que se possa representar por S = {C, *}, e dado um elemento qualquer E, pertencente a C:
Seja <math>S</math> um conjunto munido de uma operação binária <math>*</math>, isto é, um [[Grupoide (estrutura algébrica)|grupoide]] ou [[sistema matemático]]{{carece de fontes}}. Se <math>e</math> é um elemento neutro de <math>(S, *)</math>, ou seja, <math>S</math> é um grupoide com unidade, e <math>a</math> é um elemento qualquer pertencente a <math>S</math>, chama-se de '''elemento inverso'' do elemento <math>a</math> a qualquer elemento <math>b</math> tal que:
#* E<sup>–1</supmath>a^{-1} * Ea = Ne</math> e E<math>a * E<sup>–1a^{-1} = e</supmath> = N, irrestritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso bilateral]]", "[[elemento inverso irrestrito]]" ou "[[Elemento Oposto|elemento inverso]]" simplesmente, pois ''aplicado à esquerda'' ou ''aplicado à direita'' do outro operando, ''resulta, pois, sempre o [[elemento neutro]] "N"<math>e</math>'';
#* E<sup>–1</supmath>a^{-1} * Ea = Ne</math> mas E<math>a * E<sup>–1a^{-1} \not= e</supmath> ≠ N, restritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso à esquerda]] apenas", pois só operado à esquerda resulta a neutralização;
#* E<math>a * E<sup>–1a^{-1} = e</supmath> = N mas E<sup>–1</supmath>a^{-1} * Ea \not= Ne</math>, restritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso à direita]] apenas", pois só operado à direita resulta a neutralização.
 
:<u>Nota</u>:É importante é observar aqui que o símbolo "E<supmath>–1a^{-1}</supmath>" ''não significa, como pode sugerir uma apreciação ligeira, elevar o elemento "E"<math>a</math> ao expoente um negativo (–1)''. Trata-se, tão-somente, de recurso de generalidade simbólica, que faz apelo à idéia da inversão multiplicativa — apenas à idéia — convertendo-a em representação genérica para qualquer e toda inversão, segundo o conceito de elemento inverso.
*Chama-se elemento inverso do elemento "E" ao elemento "E<sup>–1</sup>" <sup>(<u>Nota</u>)</sup>, tal que:
# E<sup>–1</sup> * E = N e E * E<sup>–1</sup> = N, irrestritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso bilateral]]", "[[elemento inverso irrestrito]]" ou "[[Elemento Oposto|elemento inverso]]" simplesmente, pois ''aplicado à esquerda'' ou ''aplicado à direita'' do outro operando, ''resulta, pois, sempre o [[elemento neutro]] "N"'';
# E<sup>–1</sup> * E = N mas E * E<sup>–1</sup> ≠ N, restritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso à esquerda]] apenas", pois só operado à esquerda resulta a neutralização;
# E * E<sup>–1</sup> = N mas E<sup>–1</sup> * E ≠ N, restritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso à direita]] apenas", pois só operado à direita resulta a neutralização.
 
:Os conceitos de "esquerda" e de "direita, aqui, ''não tem significação proprietária de posição espacial, pelo menos não necessariamente''. "Esquerda" e "direita" como aqui empregados, referem-se a domínios de ordem matemática: podem significar respectivamente "antes" e "depois", (ou o contrário, se definido), bem como também as idéias ordinárias de ''esquerda'' e de ''direita'', respectivamente.
:<u>Nota</u>: importante é observar aqui que o símbolo "E<sup>–1</sup>" ''não significa, como pode sugerir uma apreciação ligeira, elevar o elemento "E" ao expoente um negativo (–1)''. Trata-se, tão-somente, de recurso de generalidade simbólica, que faz apelo à idéia da inversão multiplicativa — apenas à idéia — convertendo-a em representação genérica para qualquer e toda inversão, segundo o conceito de elemento inverso.
 
:Os conceitos de "esquerda" e de "direita, aqui, ''não tem significação proprietária de posição espacial, pelo menos não necessariamente''. "Esquerda" e "direita" como aqui empregados, referem-se a domínios de ordem matemática: podem significar respectivamente "antes" e "depois", (ou o contrário, se definido), bem como também as idéias ordinárias de ''esquerda'' e de ''direita'', respectivamente.
 
Relativamente a uma dada [[operação binária]] num dado [[Sistema (matemática)|sistema matemático]]<ref>[[Sistema]], ''lato sensu'', em significação plena, conforme o melhor entendimento.</ref>, cuja [[estrutura algébrica]] ''seja conforme'', ao ser [[operação|operado]] com outro qualquer elemento do mesmo sistema, ''não lhe causa alteração na identidade (natureza ou valor)''. A conformidade expressa na definição implica ser o sistema matemático em causa dotado de estrutura algébrica de [[monóide]] ou superior ([[grupo]], [[corpo]] etc.).
 
==Exemplos==
==[[Elemento oposto|Inverso]] e [[Elemento neutro|Neutro]]==
A idéia de elemento inverso, em [[Matemática]] — ''lato sensu'', para incluir as [[Lógica]]s, as [[Lógica matemática|Lógicas matemáticas]], a [[Semiologia]] etc. — coneta-se ''logicamente'' com a idéia de [[elemento neutro]], nos seguintes termos:
*Dado um conjunto "C" e um elemento "E" a ele pertecente, chama-se [[elemento neutro]] composicional, relativamente a uma dada lei de composição definida por <math>*_i</math> ao elemento "N" (ou, mais precisamente, "N<sub>*i</sub>") tal que:
:<center>E <math>*_i</math> E<sup>–1</sup> = E<sup>–1</sup> <math>*_i</math> E = N<sub>*i</sub></center>
 
Para fixação imediata e simples de idéias, ao se tratar de ''conjuntos numéricos unidimensionais'' (aqueles definidos sobre um [[espaço vetorial]] R<sup>n</sup> = R<sup>1</sup> = R, em que "R" figura como o [[Números reais|conjunto dos números reais]] e "n" = 1 figura como a dimensão linear do espaço vetorial em exame), por exemplo, qualquer dos conjuntos numéricos que são subconjuntos amplos de R, fala-se mais comumente em:
#[[Inverso aditivo]]: o elemento (procurado) que somado com um elemento (dado) resulta o [[elemento neutro aditivo]], nestes casos, precisamente o [[Zero|número zero]]. Assim, -3 é o inverso aditivo de +3, pois (-3) + (+3) = 0. Conversamente, +3 é o inverso aditivo de -3. Fala-se, então, em pares conjugados de inversos aditivos. Também: (+½ e -½), (+π e -π) etc... são outros pares conjugados de inversos aditivos. Costuma-se chamar ao [[inverso aditivo]] também [[elemento oposto aditivo]] (ou, simplesmente, [[oposto]], quando não houver possibilidade de confusão, ou pelo uso do termo em domínio específico, inambíguo, unívoco). Ainda se usam os termos [[elemento simétrico aditivo]] ou, simplesmente — ressalva feita — [[simétrico]].
Contudo, é preciso ter em mente que os exemplos relacionados às leis de composição "adição" e "multiplicação", conforme definidas sobre conjuntos numéricos sobre "R<sup>n</sup>", ''não são os únicos'', tampouco necessariamente os mais importantes irrestritamente — embora seja certo reconhecer que são muito importantes na prática do dia-a-dia. Com efeito, não apenas o matemático abstrato (o cientista, o pesquisador, o profissional...) lida com muitíssimos outros exemplos de inversos e de neutros, ''mas, também, o cidadão comum, frequentemente sem o saber sequer''. Apenas para fixar idéias nesse domínio, suponha-se o seguinte exemplo simples: (1) alguém dá um passo adiante; (2) a seguir, esse alguém dá um passo atrás, retornando à posição originária; (3) é certo, pois, conhecer o par ("passo adiante" e "passo atrás") como par conjugado de "inversos de passo" (vetores unidimensionais?...) e o resultado (retorno ao ponto de partida) como o "elemento neutro de passo". Este exemplo — extremamente simples — foi citado para salientar a absoluta generalidade da presença de tais estruturas na lida abstrata e também na prática do dia-a-dia. São as estruturas matemáticas, os [[Sistema matemático|sistemas matemáticos]], ''mais onipresentes que se imagina''.
 
==Alguns exemplos==
==Referências==
{{reflist}}
*[[Monóide]]
*[[Semigrupo]]
*[[Semigrupo inverso]]
 
[[Categoria:Álgebra]]