Número complexo hiperbólico: diferenças entre revisões
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{{Conjuntos de números}}
Na [[matemática]], os '''números complexos hiperbólicos''' são uma extensão dos números reais definidos de forma análoga aos números complexos. A diferença geométrica principal entre os dois é que enquanto a multiplicação de números complexos respeita a norma euclidiana (quadrada) padrão (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>) em '''''R<sup>2</sup>''''', a multiplicação de números complexos hiperbólicos respeita a norma (quadrada) de Minkowski (''x''<sup>2</sup> − ''y''²).
Algebricamente os números complexos hiperbólicos têm a propriedade interessante, ausente nos números complexos, de ter idempotentes. Além disso, a coleção de todos os números complexos hiperbólicos não dá forma a um corpo, mas, em vez disso, essa estrutura está na mais larga categoria de anéis.
Os números complexos têm muitos outros nomes; ver a seção dos sinônimos abaixo.
== Definição ==
Um número complexo hiperbólico é um número na forma:
:<math>z = x + jy\,\!</math>
onde ''x'' e ''y'' são números reais e a quantidade ''j'' satisfaz:
:<math>j^2 = + 1\,\!</math>.
Escolhendo ''j''<sup>2</sup> = − 1 resulta nos números complexos. É esta mudança do sinal que distingue os números complexos hiperbólicos dos complexos. A quantidade ''j'' aqui é um não número real mas uma quantidade independente; isto é, não é igual a ± 1.
A coleção de todo ''z'' é chamado de plano complexo hiperbólico. A adição e a multiplicação de números complexos hiperbólicos são definidas por:
:<math>(x + jy) + (u + jv) =\,\!</math> <math>(x + u) + j(y + v)\,\!</math>
:<math>(x + jy) (u + j v) =\,\!</math> <math>(xu + yv) + j(xv + yu)\,\!</math>.
Essa multiplicação é comutativa, associativa e distribuitiva em relação à adição.
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Exatamente como para aos números complexos, pode-se definir a noção de conjugado de um número complexo hiperbólico. Se
:<math>z = x + jy\,\!</math>
o conjugado de ''z'' é definido como
:<math>\overline z = x - jy\,\!</math>
O conjugado satisfaz a propriedades similares às do conjugado do número complexo usual. A saber,
:<math>\overline {(z + w)}=\,\!</math> <math>\overline z + \overline w\,\!</math>
:<math>\overline {(zw)} =\,\!</math> <math>\overline z \overline w\,\!</math>
:<math>\overline {(\overline z)} =\,\!</math> <math>z\,\!</math>.
Essas três propriedades implicam que o conjugado número complexo hiperbólico é um automorfismo de ordem 2.
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A forma quadrática de um número complexo hiperbólico ''z'' = ''x'' + ''jy'' é dada por
:
Há uma propriedade importante que está preservado pela multiplicação complexa hiperbólica:
:
Entretanto, essa forma quadrática não é positiva-definitiva mas tem ,em vez disso, a assinatura (1.1), então ela não é uma norma.
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