Teorema fundamental da álgebra: diferenças entre revisões
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Em [[matemática]], o '''teorema fundamental da álgebra''' afirma que qualquer polinómio '''p (z)''' com coeficientes complexos de uma variável e de grau '''n ≥ 1''' tem alguma [[Raiz (matemática)|raiz]] complexa. Por outras palavras, o [[Corpo (matemática)|corpo]] dos [[número complexo|números complexos]] é [[Corpo algebricamente fechado|algebricamente fechado]] e, portanto, tal como com qualquer outro corpo algebricamente fechado, a [[equação]] '''p (z) = 0 n''' soluções não necessariamente distintas.
== História ==
[[Peter Rothe]], no seu livro ''Arithmetica Philosophica'' publicado em 1608, escreveu que uma equação [[pollinômio|polinomial]] de grau '''<math>n</math>''' com coeficientes reais pode ter '''<math>n</math>''' soluções. [[Albert Girard]] no seu livro ''L'invention nouvelle en l'Algèbre'' publicado em 1629, afirmou que uma equação polinomial de grau <math>n</math> tem '''<math>a</math>''' soluções, mas não disse que tais soluções eram necessariamente complexos. Além disso, ele disse que a sua afirmação era válida «a menos que a equação seja incompleta», querendo dizer com isto que nenhum [[coeficiente]] é igual a <math>0</math>. No entanto, quando ele explica em detalhe o que quer dizer, torna-se claro que, de fato, ele acredita que a afirmação dele é válida em todos os casos. Por exemplo, ele mostra que a equação:
:<math>\,\!x^4=4x-3</math>
embora incompleta, tem quatro soluções:
:<math>\,\!1, -1, -1 + i\sqrt{2} \quad e \ -1-i\sqrt{2}</math>.
Em 1637, [[Descartes]] escreve em ''La géométrie'' o que anos antes [[Harriot]] havia descoberto - se '''<math>a</math>''' é [[Raiz (matemática)|raiz]] de um polinómio, então '''<math>x-a</math>''' divide o polinómio. Descartes afirmou também que para todas as equações de grau n, podemos imaginar n raízes, mas estas podem não corresponder a quantidades reais.
Uma consequência do teorema fundamental da Álgebra é que qualquer polinómio com coeficientes reais e grau superior a <math>0</math> pode ser escrito como [[produto]] de polinómios com coeficientes reais de primeiro ou segundo grau. No entanto, em 1702 [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] afirmou que nenhum polinómio do tipo ''<math>x^4+a^4</math>'' (com ''<math>a</math>'' real e não nulo) pode ser obtido sob aquela forma. Anos mais tarde, [[Nicolaus II Bernoulli]] (1695-1726) afirmou o mesmo relativamente ao polinómio:
:<math>\,\!x^4-4x^3+2x^2+4x+4</math>
mas recebeu uma carta de [[Leonhard Euler|Euler]] em 1742 na qual lhe foi explicado que o seu polinômio era de fato igual a:
:<math>\,\!(x^2-(2+\alpha)x+1+\sqrt{7}+\alpha)(x^2-(2-\alpha)x+1+\sqrt{7}-\alpha)</math>
sendo '''<math>\alpha</math>''' a [[raiz quadrada]] de:
:<math>\,\!4+2\sqrt7</math>
enquanto que:
:<math>\,\!x^4+a^4=(x^2+a\sqrt{2}x+a^2)(x^2-a\sqrt{2}x+a^2)</math>.
Uma primeira tentativa de demonstrar o teorema foi levada a cabo por [[d'Alembert]] em 1746, mas na altura a [[demonstração]] foi considerada incorrecta. Entre outros problemas, usava implicitamente um [[teorema]] (atualmente designado por [[teorema de Puiseux]]) que só viria a ser demonstrado um século mais tarde e cuja demonstração se pensava depender do teorema fundamental da álgebra. No entanto, hoje em dia há quem defenda que a demonstração de d'Alembert foi mal compreendida, e que de facto não depende do teorema fundamental da álgebra ou seja, não é circular. Este teorema é hoje em dia considerado inadequado por muitos matemáticos, por não ser fundamental para a álgebra contemporânea.
Outras tentativas foram levadas a cabo por [[Leonhard Euler|Euler]] (1749), [[de Foncenex]] (1759), [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] (1772) e [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] (1795). Estas últimas quatro tentativas recorreram à [[tese de Argand]]; mais precisamente, a existências de raízes era dada como certa e o que faltava provar era que eram da forma ''<math>a+bi</math>'' para números reais ''<math>a</math>'' e ''<math>b</math>''. Em terminologia moderna, Euler, de Foncenex, Lagrange e Laplace estavam a supor a existência de um corpo de decomposição do polinômio <math>p(z)</math>.
No fim do século XVIII foram publicadas duas novas demonstrações que não supunham a existência de raízes. Uma delas, da autoria de [[James Wood]] e sobretudo [[álgebra|algébrica]], foi publicada em 1798 e completamente ignorada. A demonstração de Wood tinha uma falha de natureza algébrica. A outra demonstração foi publicada por [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] em 1799 e era sobretudo geométrica, mas tinha uma falha topológica. Uma demonstraçao rigorosa foi publicada por Argand em 1806; foi aqui que, pela primeira vez, o teorema fundamental da Álgebra foi enunciado para polinômios com coeficientes complexos e não apenas para polinómios com coeficientes reais. Gauss publicou mais duas demonstrações em 1816 e uma nova versão da primeira demonstração em 1849.
O primeiro manual universitário a conter uma demonstração do teorema foi o ''Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique'', de [[Cauchy]] (1821). A demonstração em questão é a de Argand, embora este não seja mencionado.
Nenhuma das demonstrações até agora mencionadas é [[construtivo|construtiva]]. Foi [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] quem levantou pela primeira vez, em 1891, o problema de encontrar uma demonstração construtiva do teorema. Tal demonstração foi obtida por [[Hellmuth Kneser]] em 1940 e simplificada pelo seu filho [[Martin Kneser]] em 1981.
== Demonstrações ==
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