Grupo abeliano: diferenças entre revisões

Em matemática[[álgebra abstrata]], um '''grupo abeliano''', chamado também de '''grupo comutativo''', é um [[grupo]] <math>(G,*)</math> taisem que <math>a*b = b*a</math> para todoquaisquer <math>a</math> e <math>b</math> em <math>G</math>.<ref name="beachy">[[John A. Beachy]], ''Introductory Lectures on Rings and Modules'', 0.3 ''Abelian Groups'' [http://www.math.niu.edu/~beachy/rings_modules/notes/03.pdf <small><nowiki>[em linha]</nowiki></small>]</ref> OuEm sejaoutras palavras, a ordemaplicação em que ada [[operação binária]] énão executadadepende nãoda importa.ordem Taisdos gruposelementos sãodo geralmentegrupo. maisOs fáceis'''grupos deabelianos''' compreender,receberam emboraesse osnome gruposdevido abelianosa infinitos[[Niels remanesçamHenrik umAbel|Niels assuntoHenrik daAbel]].<ref>Jacobson pesquisa(2009), atualp. 41</ref> Os grupos que não são comutativos são chamados '''não-abelianos''' (melhor queou '''não-comutativocomutativos''').

A notação multiplicativa é a notação usual para grupos, quando a notação aditiva for à notação usual para os módulos[[módulo]]s. Ao estudar grupos abelianos à parte de outros grupos, a notação aditiva é usada geralmente. <ref name="beachy" />

Exemplos: Cada [[grupo cíclico]] G é abeliano, porque se x, y estiver em G, então ''xy'' = ''a''^''m''''a''^''n'' = ''a''^{''m'' + ''n''} = ''a''^{''n'' + ''m''} = ''a''^''n''''a''^''m'' = ''yx''.

Assim os [[números inteiros|inteiros]], Z, dão forma a um grupo abeliano sob a [[adição]], como oos modulo[[aritmética nmodular|inteiros dosmódulo inteiros''n'']], Z/nZ.

Cada [[anel]] é um grupo abeliano respeitando a sua operação da adição. Em um [[anel comutativo]] os elementos [[inverso|invertíveis,]] ou(também aschamados de unidades), dão forma a um grupo multiplicativo abeliano.

De fato, os [[números reais]] são um grupo abeliano sob a adição, e os números reais sem ser o zero são um grupo abeliano sob a multiplicação. Cada subgrupo de um grupo abeliano é [[subgrupo normal|normal]], assimde modo que cada subgrupoum causade tais subgrupos dá origem a um [[grupo do quociente]]. Os subgrupos, os quocientes, e as [[soma direta de grupos|somas diretas de grupos]] abelianoabelianos são outra veztambém abelianos.

As matrizes[[matriz]]es, mesmo [[matriz invertível|matrizes invertíveis]], não dão forma a um grupo abeliano sob a multiplicação porque a multiplicação dade matrizmatrizes arbitrárias de ordem maior ou igual a dois não é geralmente comutativa.

==Tabela Multiplicativamultiplicativa==

Para verificar que um grupo finito é abeliano, uma tabela (matriz) – conhecida como uma [[tabela de Cayley]] - pode ser construídoconstruída em uma forma similar a uma tabela dade multiplicação. Se o grupo estiverfor denotado por <math>G = {g1g_1 = e, g2g_2,… \ldots, gng_n}</math>, sobsua operação ⋅por <math>\cdot</math>, a entrada <math>(i, j) 'a entrada th</math> desta tabela contemé o produto gi<math>g_i ⋅\cdot gjg_j</math>. O grupo é abeliano se e somente se esta tabela é simétrica sobreem arelação à diagonal principal (isto é, se a matriz for uma [[matriz simétrica]]).

Se ''n'' for um [[número natural]] e ''x'' for um elemento de um grupo abeliano G escrito aditivamente, então ''nx'' pode ser definido ([[indução matemática|indutivamente]]) como <math>x + x +… \ldots + x</math> e <math>(−n-n) x = − -(nx)</math>. NestaDeste maneiramodo, G transforma-se em um módulo sobre o anel Z dos inteiros.<ref name="beachy" /> De fato, os módulosdemais ''Z excedentes''-módulos podem ser identificados com os grupos abelianos.

Os Teoremasteoremas sobre os grupos abelianos (isto é módulos sobre o domínio idealde ideais principalprincipais ''Z'') podem freqüentementefrequentemente ser generalizados aos teoremas sobrea osrespeito de módulos sobre um domínio idealde ideais principalprincipais arbitrário. Um exemplo típico é a [[classificação dedos grupos abelianos finitafinitamente gerados]].

Se f, g: O → H de G são dois [[homomorfismo de grupo|homomorfismos dode grupo]] entre grupos abelianos, aentão seguir sua soma f + g, definidodefinida por (f + g) (x) = f (x) + g (x), é outra veztambém um homomorfismo. (Istoisto não é verdadeiro se H for um grupo não-abeliano). O jogoconjunto Hom (G, H) de todos os homomorfismos do grupo de G apara o grupo H giratorna-se assim em um grupo abeliano em sua própria direita.

==Grupos Abelianosabelianos Finitosfinitos==

O '''teorema fundamental dedos grupos abelianos finitos''' indicaestabelece que cadatodo grupo abelianosabeliano finito ''G'' pode ser expresso como a soma direta de subgrupos cíclicos dade ordem do[[número principal-poderprimo|prima]]. EstaEste é umaum aplicaçãocaso especial do teorema fundamental dedos grupos abelianos finitafinitamente gerados no caso, quandoem que ''G'' tem torsão -ordem livre de torsão igual a 0.

'''O grupo cíclico <math>\mathbb{Z'''}_{mn}<sub/math> de ordem ''mn''</sub> isomórficoé isomórfo ao produto direto de '''Z'''<submath>''\mathbb{Z}_{m''}</submath> ande '''Z'''<submath>''\mathbb{Z}_{n''}</submath> se e somente se ''m'' e ''n'' são primos[[coprimo]]s. Conseqüentemente qualquer grupo abeliano ''G'' pode ser escrito como um produto direto da forma

Este teorema pode ser usado para se determinar todos os grupos abelianos de ordem 72 = 2³ 3². Tem-se o grupo cíclico <math>\mathbb{Z}_{72} = \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{9}</math>.

| '''[[grupo trivial]]''' = Z₁ = ''S''₁ = ''A''₂

| possui várias propriedades são válidas [[trivial (matemática)|trivialmente]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC1.pngsvg|center]]

| simples, o menor grupo não trivial

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC2.png|center]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC3.png|center]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC4.png|center]]

| [[Klein 4]] = {{nowrap|Z₂ ²× Z₂}} = Dih₂

| 3 &times; Z₂ (3)|| o menor grupogropo não cíclico

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniD4.png|center]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC5.png|center]]

| [[Isomorfismo|Z₆ = Z₃ × Z₂]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC6.png|center]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC7.png|center]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC8.png|center]]

| Z₄ &times; Z₂

| {{SubSup|Z|2 &times;|2}}, Z₄ (2), Z₂², (3 &times;Z₂)

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC2C4.png|center]]

| {{SubSup|Z_|2²</sub> ,|2}} (7) &times;, Z₂ (7)

| Osos elementos não triviais correspondem aos pontos do [[plano de Fano]], e os subgrupos Z₂ &times; Z₂ às rectas

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC2x3.png|center]]

| Z₉
|| Z₃ |
| &nbsp;

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC9.png|center]]

| Z₃ (4)

| 4 &times; Z₃ || &nbsp;

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC3x2.png|center]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC10.png|center]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC11.png|center]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC12.png|center]]

| Z₆ &times; Z₂ = Z₃ &times; {{SubSup|Z|2|2}}

| Z₂₆ &times;(3), Z₂₃ =, Z₃₂ &times; (3), {{SubSup|Z_|2²|2}}

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC2C6.png|center]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC13.png|center]]

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC14.png|center]]

| Z₅ , Z₃ || &nbsp;multiplicação de [[nimber]]s

| [[FicheiroImagem:GroupDiagramMiniC15.png|center]]

==Relação com Outrosoutros Tópicostópicos Matemáticosmatemáticos==