Idempotência: diferenças entre revisões
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===Propriedades===
# Matrizes idempotentes são sempre [[matriz positiva definida|positivas semi-definidas]]<ref>WOOLDRIDGE. '''Introdução à Econometria'''. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf
# Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, '''não''' admite [[matriz inversa|inversa]]:
:<math>I=AA^{-1}=A^2A^{-1}=A \left (AA^{-1} \right )=A</math>
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É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas<ref>WOOLDRIDGE. '''Introdução à Econometria'''. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf></ref>. Seja <math>X</math> uma matriz de dimensão nXk com posto (X)=k. A '''Matriz de projeção''' é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:
<math>P\equiv X \left (X^TX \right )^{-1}X^T</math>, onde <math>X^T</math> denota a [[matriz transposta]] de X e <math>\left (X^TX \right )^{-1}</math> denota a [[matriz inversa]] da [[matriz]] <math>X^TX </math>. Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que <math>PX=X</math> <ref
*Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a [[matriz]] X de dimensão nXk em duas matrizes <math>X_1</math> e <math>X_1</math> de tal forma que <math>X=\begin{bmatrix} X_1 & X_2 \end{bmatrix}</math>, então
:<math>PX_1=X_1</math><ref name="HANSEN-2011-p77">HANSEN, Bruce. '''Econometrics'''. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Página 77.</ref>:
Por exemplo, sejam as matrizes <math>X=\begin{bmatrix} {
:<math>PX_1=</math><math>\begin{matrix} \underbrace{ X \left (X^TX \right )^{-1}X^T } \\ P \end{matrix}*\begin{bmatrix}{
:<math>\begin{bmatrix} {
*A matriz de projeção é largamente utilizadas em [[econometria]]. Na estimação por [[mínimos quadrados ordinários]], por exemplo, a matriz '''P''' gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (''hat matrix'', em inglês)<ref
:<math>Py =\left (X^TX \right )^{-1}X^Ty = X\hat \beta=\hat y</math>
*P é sempre [[matriz positiva definida|positiva semi-definida]].
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===Matriz de aniquilação===
*'''Matriz de aniquilação''': <math>M \equiv I_n-P \equiv I_n - X \left (X^TX \right )^{-1}X^T</math>. Esta matriz é chamada de [[matriz]] de aniquilação porque sempre é verdade que <math>MX=0</math><ref name="HAYASHI-2000-p18">HAYASHI, Fumio. '''Econometrics'''. Princeton University Press. 2000. ISBN-10: 0-691-01018-8. Página 18.</ref>.
A matriz aniquiladora também é bastante útil em [[econometria]]. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de [[mínimos quadrados ordinários]]
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