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Idempotência: diferenças entre revisões

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Ajuste: as matrizes não precisam ser simétricas para serem idempotentes, mas precisam ser quadradas; Remoção: a dimensão da matriz não é usada no texto, então não há porque colocá-la; Menos repetição de dados das referências; +{{esboço
Reorganização (inspirada pela estrutura atual de en:Idempotence), que reflete o fato de que o artigo é sobre a *idempotência em geral*, em vez de matrizes e suas aplicações à econometria; -texto movido para Matriz idempotente
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{{Sem-fontesmais notas|data=maiooutubro de 2011| angola=| arte=| Brasil=| ciência=| geografia=| música=| Portugal=| sociedade=|1=Este artigo ou secção|2=|3=|4=|5=|6=}}
 
Em [[matemática]], ume objeto[[ciência éda computação]], a '''idempotenteidempotência''' quandoé elea épropriedade oque resultadoalgumas operações têm de suapoderem composiçãoser consigoaplicadas mesmo,várias novezes sentidosem que o valor do resultado se tornaaltere após a maisaplicação preciso:inicial.
* Uma [[função]] <math>f: S \rightarrow S\,</math> é '''idempotente''' quando <math>f o f = f\,</math>, sendo ''o'' a [[composição de funções]]. Neste caso dizemos que ''f'' é uma [[operação idempotente]].
* Em um conjunto ''S'' com uma [[operação binária]] * (ou seja, (S,*) é um [[grupóide (estrutura algébrica)|grupóide]]), um elemento ''a'' é '''idempotente''' quando ''a'' * ''a'' = ''a''.▼
* A união de um conjunto ''A'' com ele mesmo, ou seja ''A'' ''U'' ''A'' nos fornece a clara demostração de propriedade idempotente, pois a união de um conjunto consigo mesmo nos remete esse mesmo conjunto como resultado final. Observe que: ''A'' ''U'' ''A'' = ''A''.▼
 
== Definição ==
Por exemplo: Os únicos números reais idempotentes em relação à multiplicação são 0 e 1.▼
=== Operação unária ===
Uma [[operação unária]] ''f'', isto é, uma função de um conjunto ''S'' em si mesmo, é [[operação idempotente|idempotente]] se para todo ''x'' em ''S'',
 
:''f''(''f''(''x'')) = ''f''(''x'').
==Matriz idempotente==▼
Uma [[matriz quadrada]] A, é '''idempotente''' se <math>AA=A^2=A</math><ref name="CHEN-2003-s5.4">CHEN, Mei Yuan (2003), Seção 5.4: Idempotent Matrices.</ref>.
 
Em particular, a [[função identidade]] id<sub>''S''</sub>, definida por {{nowrap|1=id<sub>''S''</sub>(''x'') = ''x''}}, é idempotente, bem como a [[função constante]] ''K<sub>c</sub>'', em que ''c'' é um elemento de ''S'', definida por {{nowrap|1=''K<sub>c</sub>''(''x'') = ''c''}}.
===Propriedades===
# Matrizes idempotentes são sempre [[matriz positiva definida|positivas semi-definidas]].<ref>WOOLDRIDGE, p. 104.</ref>
# Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, '''não''' admite [[matriz inversa|inversa]]:
#:<math>I=AA^{-1}=A^2A^{-1}=A \left (AA^{-1} \right )=A</math>
#Se uma matriz A é idempotente, a matriz <math>I-A</math> também é.<ref name="CHEN-2003-s5.4"/>
 
=== Operação binária ===
===Matriz de projeção===
▲* Em um conjunto ''S'' com uma [[operação binária]] * (ou seja, (S,*) é um [[grupóide (estrutura algébrica)|grupóide]]), um elemento ''a'' é '''idempotente''' quando ''a'' * ''a'' = ''a''.
É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas.<ref>WOOLDRIDGE</ref> Seja <math>X</math> uma matriz de dimensão nXk com posto (X)=k. A '''Matriz de projeção''' é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:
 
== Exemplos ==
<math>P\equiv X \left (X^TX \right )^{-1}X^T</math>, onde <math>X^T</math> denota a [[matriz transposta]] de X e <math>\left (X^TX \right )^{-1}</math> denota a [[matriz inversa]] da [[matriz]] <math>X^TX </math>. Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que <math>PX=X</math> <ref name="HAYASHI-2000-p18"/>.
▲Por exemplo:* Os únicos números reais idempotentes em relação à [[multiplicação]] são 0 e 1.
 
▲* A [[união|união]] de um conjunto ''A'' com ele mesmo, ou seja, ''A'' ''U'' ''A'', nosé forneceum aexemplo clarade demostraçãooperação de propriedadebinária idempotente, pois a união de um conjunto consigo mesmo nos remete esse mesmo conjunto como resultado final. Observe que: ''A'' ''U'' ''A'' = ''A''.
*Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a [[matriz]] X de dimensão nXk em duas matrizes <math>X_1</math> e <math>X_1</math> de tal forma que <math>X=\begin{bmatrix} X_1 & X_2 \end{bmatrix}</math>, então
:* Uma [[matriz quadrada]] A, é [[matriz idempotente|idempotente]] se <math>PX_1AA=X_1A^2=A</math>:<ref name="HANSENCHEN-20112003-p77s5.4">HANSENCHEN, BruceMei Yuan (20112003) p. 77</ref>.
Por exemplo, sejam as matrizes <math>X=\begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix}, X_1=\begin{bmatrix} {a} \\ {c} \end{bmatrix}, X_2=\begin{bmatrix} {b} \\ {d} \end{bmatrix}</math>. Então,
:<math>PX_1=</math><math>\begin{matrix} \underbrace{ X \left (X^TX \right )^{-1}X^T } \\ P \end{matrix}*\begin{bmatrix}{a} \\ {c} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \left (\begin{bmatrix} {a} & {c} \\ {b} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix}\right )^{-1}\begin{bmatrix} {a} & {c} \\ {b} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {a} \\ {c} \end{bmatrix}=</math>
:<math>\begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \left (\begin{bmatrix} {a}^2+{c}^2 & {a}{b}+{c}{d} \\ {a}{b}+{c}{d} & {b}^2+{d}^2 \end{bmatrix} \right )^{-1}\begin{bmatrix} {a}^2+{c}^2 \\ {a}{b}+{c}{d} \end{bmatrix}</math><math>=\begin{bmatrix} {a} \\ {c} \end{bmatrix}</math>
 
 
*A matriz de projeção é largamente utilizadas em [[econometria]]. Na estimação por [[mínimos quadrados ordinários]], por exemplo, a matriz '''P''' gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (''hat matrix'', em inglês)<ref name="HANSEN-2011-p77"/>:
:<math>Py =\left (X^TX \right )^{-1}X^Ty = X\hat \beta=\hat y</math>
*P é sempre [[matriz positiva definida|positiva semi-definida]].
*Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.
 
===Matriz de aniquilação===
 
*'''Matriz de aniquilação''': <math>M \equiv I_n-P \equiv I_n - X \left (X^TX \right )^{-1}X^T</math>. Esta matriz é chamada de [[matriz]] de aniquilação porque sempre é verdade que <math>MX=0</math>.<ref name="HAYASHI-2000-p18">HAYASHI, Fumio (2000), p. 18</ref>
 
A matriz aniquiladora também é bastante útil em [[econometria]]. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de [[mínimos quadrados ordinários]]
:<math>y=X \beta + \varepsilon = X_1 \beta_1 + X_2 \beta_2 +\varepsilon</math>, sendo <math>X_1,X_2,\beta_1,\beta_2</math> matrizes, poderemos definir
:<math>M_1 \equiv I_n - X_1 \left (X_1^TX_1 \right )^{-1}X_1^T</math> e
:<math>M_2 \equiv I_n - X_2 \left (X_1^TX_2 \right )^{-1}X_2^T</math>
E então podemos estimar os coeficientes separadamente<ref name="HANSEN-2011-p80">HANSEN, Bruce (2011) p. 80</ref>:
:<math>\hat \beta_1 =\left (X_1^TM_2X_1 \right )^{-1}\left (X_1^TM_2y \right )</math>
:<math>\hat \beta_2 =\left (X_2^TM_1X_2 \right )^{-1}\left (X_2^TM_1y \right )</math>
 
=={{Ver também}}==
*[[Projeção (matemática)|Projecção]]
*[[Involução (matemática)|Involução]]
▲==*[[Matriz idempotente==]]
*[[Nilpotente]]
 
==Notas==
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==Referências==
* CHEN, Mei Yuan. '''Matrix Algebra for econometrics'''. Julho de 2003. National Chung Hsing University. Disponível em: <http://web.nchu.edu.tw/~finmyc/MAT-ALG1.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Seção 5.4: Idempotent Matrices.
* WOOLDRIDGE. '''Introdução à Econometria'''. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
* HAYASHI, Fumio. '''Econometrics'''. Princeton University Press. 2000. ISBN-10: 0-691-01018-8. Página 18.
* HANSEN, Bruce. '''Econometrics'''. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
 
 
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