Geometria algébrica: diferenças entre revisões
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[[Imagem:Togliatti surface.png|200px|miniatura|direita|Esta [[superfície de Togliatti]] é uma [[superfície algébrica]] de grau cinco]]
A '''geometria algébrica''' é uma área da [[matemática]] que combina técnicas de [[álgebra abstrata]], especialmente de [[álgebra comutativa]], com a linguagem e os problemas da [[geometria]]. Ela ocupa um papel central na matemática moderna e possui várias conexões conceituais com áreas tão diversas quanto [[análise complexa]], [[topologia]] e [[teoria de números]]. Inicialmente um estudo dos [[sistemas de equações polinomiais]] em várias variáveis, o objeto de estudo da geometria algébrica começa onde a [[resolução de equações]] termina, e torna-se ainda mais importante compreender as propriedades intrínsecas da totalidade de soluções de um sistema de equações, do que encontrar alguma solução; isso leva alguns das águas mais profundas em toda a matemática, tanto conceitualmente quanto em termos de técnica.
Os objetos de estudo fundamentais em geometria algébrica são as [[variedade algébrica|'''variedades algébricas''']], manifestações geométricas das [[Resolução de equações#Conjuntos-solução|soluções]] de [[sistemas de equações polinômiais]]. As [[Curva algébrica plana|curvas algébricas planas]], que incluem [[reta]]s, [[círculo]]s, [[parábola]]s, [[lemniscata]]s, e [[Oval de Cassini|ovais de Cassini]], formam uma das classes mais estudadas de variedades algébricas. Um ponto do plano pertence a uma curva algébrica se suas [[coordenada]]s satisfazem uma equação polinomial dada. Questões básicas envolvem a posição relativa entre curvas distintas e as relações entre as curvas dadas por equações diferentes
== História ==
Ela começou principalmente com a escola italiana ([[Giuseppe Veronese]], [[Gino Fano]], [[Corrado Segre]], etc.) nos anos 1910 e 1920. Depois foi elevada a um nível mais abstrato por [[Kunihiko Kodaira]] e [[Donald Spencer]], que inventaram a [[geometria algébrica complexa]].
Uma mudança crucial foi a introdução do conceito dos [[feixe (matemática)|feixes]] por [[Jean Leray]] e depois [[Roger Godement]]. Foi [[Jean-Pierre Serre]] quem relacionou a geometria algébrica à [[geometria analítica]] no seu famoso artigo [[GAGA]] (Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique) em 1955, generalizando um resultado por [[Chow]]. Mas a maior revolução foi a linguagem dos [[esquema (matemática)|esquemas]], no famoso [[elementos da geometria algébrica|EGA]] (elementos da geometria algébrica) por [[Alexander Grothendieck]] em 1959. O conceito dos esquemas ajudou muito a provar as [[conjecturas de Weil]] em 1978 por [[Pierre Deligne]]. A linguagem da geometria algébrica também ajudou a provar o [[último teorema de Fermat]] (por [[Andrew Wiles]] em 1993/1994).
Um caso particular da geometria algébrica é a [[geometria aritmética]] que relaciona-a à teoria dos números, e.g. o estudo das [[curva elíptica|curvas elípticas]].
==Referências==
Livros clássicos, anteriores ao uso de esquemas:
*{{cite book
| author = [[W. V. D. Hodge]]
| coauthors = [[Daniel Pedoe]]
| year = 1994
| title = Methods of Algebraic Geometry: Volume 1
| publisher = [[Cambridge University Press]]
| isbn = 0-521-46900-7
| zbl = 0796.14001
}}
*{{cite book
| author = [[W. V. D. Hodge]]
| coauthors = [[Daniel Pedoe]]
| year = 1994
| title = Methods of Algebraic Geometry: Volume 2
| publisher = [[Cambridge University Press]]
| isbn = 0-521-46901-5
| zbl = 0796.14002
}}
*{{cite book
| author = [[W. V. D. Hodge]]
| coauthors = [[Daniel Pedoe]]
| year = 1994
| title = Methods of Algebraic Geometry: Volume 3
| publisher = [[Cambridge University Press]]
| isbn = 0-521-46775-6
| zbl = 0796.14003
}}
Livros texto modernos que não utilizam a linguagem de esquemas:
*{{cite book
| author = [[David A. Cox]]
| coauthors = John Little, [[Donal O'Shea]]
| year = 1997
| title = Ideals, Varieties, and Algorithms
| edition = second
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 0-387-94680-2
| zbl = 0861.13012
}}
*{{cite book
| author = [[Phillip Griffiths]]
| coauthors = [[Joe Harris (mathematician)|Joe Harris]]
| year = 1994
| title = Principles of Algebraic Geometry
| publisher = [[Wiley-Interscience]]
| isbn = 0-471-05059-8
| zbl = 0836.14001
}}
*{{cite book
| author = [[Joe Harris (mathematician)|Joe Harris]]
| year = 1995
| title = Algebraic Geometry: A First Course
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 0-387-97716-3
| zbl = 0779.14001
}}
*{{cite book
| author = [[David Mumford]]
| year = 1995
| title = Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties
| edition = 2nd
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 3-540-58657-1
| zbl = 0821.14001
}}
*{{cite book
| author = [[Miles Reid]]
| year = 1988
| title = Undergraduate Algebraic Geometry
| publisher = [[Cambridge University Press]]
| isbn = 0-521-35662-8
| zbl = 0701.14001
}}
*{{cite book
| author = [[Igor Shafarevich]]
| year = 1995
| title = Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space
| edition = 2nd
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 0-387-54812-2
| zbl = 0797.14001
}}
Livros texto e referências para esquemas:
*{{cite book
| author = [[David Eisenbud]]
| coauthors = [[Joe Harris (mathematician)|Joe Harris]]
| year = 1998
| title = The Geometry of Schemes
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 0-387-98637-5
| zbl = 0960.14002
}}
*{{cite book
| author = [[Alexander Grothendieck]]
| year = 1960
| title = [[Éléments de géométrie algébrique]]
| publisher = [[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]
| zbl = 0118.36206
}}
*{{cite book
| author = [[Alexander Grothendieck]]
| year = 1971
| title = [[Éléments de géométrie algébrique]]
| volume = 1
| edition = 2nd
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 3-540-05113-9
| zbl = 0203.23301
}}
*{{cite book
| author = [[Robin Hartshorne]]
| year = 1977
| title = [[Hartshorne's Algebraic Geometry|Algebraic Geometry]]
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 0-387-90244-9
| zbl = 0367.14001
}}
*{{cite book
| author = [[David Mumford]]
| year = 1999
| title = The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians
| edition = 2nd
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 3-540-63293-X
| zbl = 0945.14001
}}
*{{cite book
| author = [[Igor Shafarevich]]
| year = 1995
| title = Basic Algebraic Geometry II: Schemes and complex manifolds.
| edition = 2nd
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 3-540-57554-5
| zbl = 0797.14002
}}
Na internet:
* Kevin R. Coombes: [http://odin.mdacc.tmc.edu/~krc/agathos/ ''Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System'']. Em construção. Atualmente é de pouca utilidade para o estudo individual.
* [http://planetmath.org/encyclopedia/AlgebraicGeometry.html ''Algebraic geometry''] no [http://planetmath.org/ PlanetMath]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ae.htm ''Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations''] no EqWorld: The World of Mathematical Equations
[[Categoria:Geometria algébrica|*]]
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