Função modular: diferenças entre revisões

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Reinclusão da imagem (já foi corrigida); remoção de conteúdo didático não enciclopédico (resolução de equação modular); formatação; inclusão de propriedades/conteúdo de en:Absolute_value#Definition_and_properties; -redundância;
(Retirei uma imagem, ver Discussão.)
(Reinclusão da imagem (já foi corrigida); remoção de conteúdo didático não enciclopédico (resolução de equação modular); formatação; inclusão de propriedades/conteúdo de en:Absolute_value#Definition_and_properties; -redundância;)
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[[FicheiroImagem:Absolute value.png|280px|thumb]]
 
O '''módulo''', ou '''valor absoluto''' ([[símbolos matemáticos|representado matematicamente]] como |xa|) de um número real ''xa'' é o valor numérico de ''xa'' desconsiderando seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua [[magnitude]]. O módulo pode ser definido da seguinte forma:
 
== Definição ==
|x|= x se, e somente se x for maior ou igual a zero ou,
O módulo de ''a'' pode ser definido da seguinte forma:
|x|= -x se x for menor que zero.
 
:<math>|a| = \begin{cases} a, & \mbox{if } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{if } a < 0. \end{cases} </math>
Podemos estender esse conceito para qualquer expressão que estiver dentro do módulo, por exemplo:
 
Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de ''a'' é sempre [[positivo]] ou [[zero]], mas nunca [[negativo]].
*Dada a função <math> f(x) = | x - 1 | + 2</math> :
[[Imagem:modulo de numero.gif|thumb|direita|Gráfico demonstrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos]]
Para resolver esse problema, é preciso primeiro fazer o estudo do sinal da expressão que está dentro do módulo, igualando-a a zero, a fim de saber para quais valores de x a expressão é negativa ou positiva:
Do ponto de vista da geometria analítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na [[reta numérica real]], e em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato a noção abstrata de distância em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.
<math>x - 1 = 0 \longrightarrow x = 1</math> (raiz). Portanto, para todos os valores de x maiores ou iguais a 1, a expressão é '''positiva''' e para todos os valores de x menores a 1, a expressão é '''negativa'''. Como o módulo é sempre um valor absoluto (positivo), quando a expressão for negativa, basta acrescentar o sinal de menos, para torná-la positiva:
 
== Propriedades ==
<math>x \ge 1 \longrightarrow | x - 1 | = x - 1 \longrightarrow f(x) = x + 1</math>
 
Como a notação da [[raiz quadrada]] sem sinal representa a raiz quadrada ''positiva'', segue que
<math>x \le 1 \longrightarrow | x - 1 | = - (x - 1) \longrightarrow f(x) = -x + 3</math>
 
:{|
== Propriedades ==
|-
| style="width: 250px" | <math>|a| = \sqrt{a^2}</math>
| <math>(1)</math>
|}
 
que às vezes é utilizado como definição do valor absoluto.<ref>{{Cite book| author=Stewart, James B. | coauthors= | title=Calculus: concepts and contexts | year=2001 | publisher=Brooks/Cole | location=Australia | isbn=0-534-37718-1 | pages=}}, p. A5</ref>
 
O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:
 
:{|
|-
| style="width: 250px" |<math>|a| \ge 0 </math>
| style="width: 100px" | <math>(2)</math>
| É não negativo
|-
|<math>|xa|^2 = x^2\qquad0 \foralliff xa \in= 0 \mathbb{R}</math>
| <math>(3)</math>
| É positivo definido
|-
|<math>|ab| = |a||b|\,</math>
| <math>(4)</math>
| É multiplicativo
|-
|<math>|a+b| \le |a| + |b| </math>
| <math>(5)</math>
| É subaditivo
|}
 
Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:
 
:{|
<math>|x|^2 = x^2\qquad \forall x \in \mathbb{R}</math>
|-
| style="width:250px" |<math>|-a| = |a|\,</math>
| style="width: 100px" | <math>(6)</math>
|[[Simetria]]
|-
|<math>|a - b| = 0 \iff a = b </math>
| <math>(7)</math>
| [[Princípio da identidade dos indiscerníveis|Identidade dos indiscerníveis]] (equivalente a ser positivo definido)
|-
|<math>|a - b| \le |a - c| +|c - b| </math>
| <math>(8)</math>
|[[desigualdade triangular]] (equivalente à subadtividade)
|-
|<math>|a/b| = |a| / |b| \mbox{ (if } b \ne 0) \,</math>
| <math>(9)</math>
| Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade)
|-
|<math>|a-b| \ge ||a| - |b|| </math>
| <math>(10)</math>
|(equivalente à subaditividade)
|}
 
No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:
<math>|-x|=|x|\qquad \forall x \in \mathbb{R}</math>
:<math>|a| \le b \iff -b \le a \le b </math>
:<math>|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or } b \le a </math>
 
Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:
<math>|x-y|\le|x|+|y|\qquad \forall x,y \in \mathbb{R}</math>
 
:{|
<math>|x-y|\ge||x|-|y||\qquad \forall x,y \in \mathbb{R}</math>
|-
|<math>|x-3| \le 9 </math>
|<math>\iff -9 \le x-3 \le 9 </math>
|-
|
|<math>\iff -6 \le x \le 12 </math>
|}
 
O valor absoluto é usado para definir a [[diferença absoluta]], uma métrica usual nos números reais.
<math>|-xy|=|x||+y|\qquad \forall x,y \in \mathbb{R}</math>
 
Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:
== Teorema da Desigualdade Triangular ==
* <math>|x-y|\ge||^2 = x|-|y||^2\qquad \forall x,y \in \mathbb{R}</math>
* <math>|-x|=|x|\qquad \forall x \in \mathbb{R}</math>
* <math>|x-y|\le|x|+|y|\qquad \forall x,y \in \mathbb{R}</math>
 
== Notas e referências ==
Se a,b <math>\in \mathbb{R}</math>, então <math>|a+(-b)| \le |a|+|b|</math>
<references/>
 
{{esboço-matemática}}