Teorema de Arzelà-Ascoli: diferenças entre revisões
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Em [[matemática]], o '''teorema de Arzelà-Ascoli''' é um importante resultado, com aplicações na [[análise real]], [[análise funcional]] e em áreas afins tais como a teoria das [[equação diferencial|equações diferenciais]]. Provém dos matemáticos italianos [[Cesare Arzelà]] e [[Giulio Ascoli]].
== Enunciado da versão real ==
Seja <math>\mathfrak{F}\,</math> uma sequência de funções <math>f:[a,b]\to\mathbf{R}\,</math> com as seguintes propriedades:
* [[Equicontinuidade]], ou seja, para cada <math>\varepsilon>0\,</math> e cada <math>x\,</math> no domínio, existe um <math>\delta>0\,</math> tal que <math>|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon, \forall f\in\mathfrak{F}\,</math>
* [[Equilimitação]], ou seja, existe uma constante <math>C\,</math> tal que <math>|f(x)|<C, \forall x\in[a,b], \forall f\in\mathfrak{F}\,</math>
Então existe uma [[subseqüência]] <math>f_n(x)\,</math> e uma [[função contínua]] <math>f(x)\,</math> tal que <math>f_n(x)\,</math> [[convergência uniforme|converge uniformemente]] para <math>f(x)\,</math>.
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De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma:
Considere uma sequencia de funções contínuas <math>(f_n(x))\,</math> definidas em um intervalo fechado [a,b] dos reais. Se essa sequência é [[uniformemente limitada]] e [[equicontínua]], então existe uma subsequencia que
Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente.
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[[Categoria:Análise real]]
[[Categoria:Análise funcional]]
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