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[[Ficheiro:Ybc7289-bw.jpg|thumb|250px|right|''Clay tablet'' Babilônio YBC 7289<br />(c. 1800–1600 BCE) [http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/ybc/ybc.html] com anotações. (Imagem por Bill Casselman)]]
A '''análise numérica''' é um ramo da [[matemática]] que estuda [[algoritmo]]s que convergem para resultados[[resultado]]s de [[problema matemático|problemas matemáticos]], resultados estes cuja [[validade]] é demonstrada por [[teorema]]s convencionais. Um [[método]] numérico apresenta uma sucessão que converge para o valor exato. Cada termo dessa [[sucessão matemática|sucessão]] é uma [[aproximação]], que é possível calcular com um número finito de operações elementares. É objetivo da análise numérica encontrar sucessões que aproximem os [[valor (matemática)|valores]] exatos com um [[número]] mínimo de [[operação matemática|operações]] elementares. <ref>Buffoni, S.S.O. Apostila de introdução aos métodos numéricos - parte I. Universidade Federal Fluminense, 2002. 44p.</ref>.
 
Embora a ''análise numérica'' tenha sido concebida antes dos [[computador]]es, tal como o entendemos hoje, o assunto se relaciona a uma [[interdisciplinaridade]] entre a ''matemática'' e a [[TI|tecnologia da informação]]. Também é muito referido o tema com o nome de ''[[cálculo]] numérico''
Os procedimentos mais elementares de tal [[metodologia]] são o [[método de Newton]] e o [[Método de Newton-Raphson]].
 
Os procedimentos[[procedimento]]s mais elementares de tal [[metodologia]] são o [[método de Newton]] e o [[Método de Newton-Raphson]].
 
{{artigo principal|método de Newton}}
 
== Histórico ==
Um dos escritos matemáticos mais antigos é o ''tablet'' [[Babilônia|babilônio]] YBC 7289, que fornece uma aproximação [[sexagesimal]] de <math>\sqrt{2}</math>, o [[comprimento]] da [[diagonal]] de um [[quadrado]] unitário.<ref>A aproximação da [[raiz quadrada de 2]] consiste de de quatro figuras [[sexagesimal|sexagesimais]], que estão sobre seis figuras[[figura]]s [[decimal|decimais]]. 1 + 24/60 + 51/60<sup>2</sup> + 10/60<sup>3</sup> = 1.41421296...<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Fotografia, ilustração, e descrição do ''tablet'' da ''raiz(2)'', da Coleção Babilônica Yale]</ref>
 
Ser capaz de calcular as faces de um [[triângulo]] (e assim, sendo capaz de calcular [[raiz quadrada|raízes quadradas]]) é extremamente importante, por exemplo, em [[carpintaria]] e [[construção civil|construção]].<ref>A autoridade de qualifição da [[Nova Zelândia]] menciona especificamente as habilidades no documento 13004, versão 2, datado de 17 de Outubro de 2003, cujo título é ''[http://www.nzqa.govt.nz/nqfdocs/units/pdf/13004.pdf CARPENTRY THEORY: Demonstrate knowledge of setting out a building]''</ref> Em uma parede quadrada que tem dois [[metro]]s por dois metros, uma diagonal deve medir <math>\sqrt{8} \approx 2.83</math> metros.<ref>Segundo o [[teorema de Pitágoras]], um quadrado cujo lado é 2 metros tem uma [[diagonal]] medindo <math>\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}</math> metros.</ref>
 
== Cálculo dos valores de funções ==
Um dos problemas mais simples é a avaliação de uma [[função matemática|função]] num determinado ponto. Mas mesmo a avaliação de um [[polinómio]] não é sempre [[trivial]]: o [[esquema de Horner]] é muitas vezes mais [[eficiência|eficiente]] do que o método [[óbvio]]. De forma geral, é importante estimar e controlar o [[erro de arredondamento]] que resulta do uso do sistema de [[Ponto_flutuante|ponto flutuante]] na aritmética.
 
== Resolução de equações e sistemas de equações ==
=== Resolução de equações não lineares ===
Resolver uma equação não [[linear]], consiste basicamente em determinar os zeros[[zero]]s de f(x)=0 em [a,b].
 
Para que possamos usar algum [[método]] numérico temos de localizar um [[intervalo]] para um [[zero]]. Para termos uma ideia onde o zero se localiza teremos de fazer uma análise [[gráfico|gráfica]] da função. Por exemplo, fazer o gráfico na [[calculadora]] ou com [[programa de computador|programas de computador]], como por exemplo o [[Mathematica]] ou [[MATLAB]].
 
Para garantir que a raiz existe e seja única temos de verificar os seguintes teoremas[[teorema]]s:
 
1) Seja f(x) € C[a,b]. Se f(a)*f(b)< 0 então existe pelo menos um x € ]a,b[ tal que f(x)=0.
2) Seja f(x) € [a,b]. Se f'(x) existe e tem [[sinal]] constante em ]a,b[ então f não pode ter mais de um zero em ]a,b[.
 
Um dos métodos numéricos para o cálculo de zeros num [[intervalo (matemática)|intervalo]] é o método da [[bissecção]]. Este método consiste na divisão do intervalo em dois. Haverá um intervalo em que o zero estará e outro não. Para o localizarmos usamos o teorema 1. Rejeitamos o intervalo que não tem o zero e ficamos com o subintervalo que tem o zero. Repetimos este procedimento o número de vezes necessárias de modo a obtermos um erro inferior ao pretendido.
 
Para encontrarmos o erro de ordem ''k'' usamos a seguinte fórmula:
.
 
Os sistemas lineares podem ser resolvidos através de métodos diretos (exatos) e métodos [[iteração|iterativos]] (aproximativos).
 
Os métodos diretos, ou exatos, possibilitam encontrar a solução exata de um sistema de equações lineares a partir de um número [[finitude|finito]] de [[operação (matemática)|operações]].