Diferenças entre edições de "Teorema do confronto"

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Este teorema também é chamado de '''teorema do/da sanduíche''' , porque a sequência ou função se comporta como uma fatia de carne ensanduichada entre dois pedaços de pão.
 
 
== Teorema do confronto para sequências (Teorema das sucessões enquadradas) ==
 
Sejam <math>a_n\,</math>, <math>b_n\,</math> e <math>c_n\,</math> sequências de números reais tais que:
 
 
* <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L\,</math>
 
 
* <math>a_n\leq b_n\leq c_n\,</math>
 
 
Então, <math>b_n\,</math> é uma sequência convergente e ainda:
 
 
* <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L\,</math>
 
== Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas) ==
 
 
Sejam <math>f(x)\,</math>, <math>g(x)\,</math> e <math>h(x)\,</math> funções reais definidas em um [[domínio]] <math>D\subseteq\mathbb{R}\,</math> e seja <math>a\,</math> um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:
 
 
* <math>\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\,</math>
 
 
* <math>f(x)\leq g(x)\leq h(x)\,</math>
 
 
Então existe o limite:
 
 
* <math>\lim_{x\to a}g(x)=L\,</math>
 
 
== Exemplo (com <math>x\in\mathbb{R}</math>) ==
[[Ficheiro:Squeezedfunction.jpg|250px|rightdireita|thumb|Gráfico alusivo ao teorema do confronto.]]
 
Considere os gráficos à direita das funções <math>\frac{1}{x^2}</math> (azul escuro), <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> (cinzento tracejado) e <math>-\frac{1}{x^2}</math> (azul ciano).
[[Ficheiro:Squeezedfunction.jpg|250px|right|thumb|Gráfico alusivo ao teorema do confronto.]]
 
Considere os gráficos à direita das funções <math>\frac{1}{x^2}</math> (azul escuro), <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> (cinzento tracejado) e <math>-\frac{1}{x^2}</math> (azul ciano).
 
Quando x tende para infinito (positivo) a função <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> fica "ensanduichada" pelas outras duas funções.
 
 
Este comportamento traduz-se analiticamente por:
 
 
<math>\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{x^2}=0\,</math>
 
 
E como:
 
 
<math>-\frac{1}{x^2}\leq \frac{\sin x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}\,</math>,
 
 
Conclui-se que:
 
 
<math>\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0\,</math>
 
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, <math>x\in\mathbb{N}</math>).
 
{{Portal3|Matemática}}
 
{{DEFAULTSORT:Teorema Confronto}}
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, <math>x\in\mathbb{N}</math>).
 
[[Categoria:Teoremas de matemática|Confronto]]
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