Teorema do encaixe de intervalos: diferenças entre revisões

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Em [[matemática]], o '''teorema do encaixe de intervalos''' afirma que qualquer sucessão decrescente de [[intervalo]]s de [[número]]s reais tem, pelo menos, um ponto em comum.
 
== Enunciado formal ==
Para cada ''n''&nbsp;&isin;&nbsp;'''N''', seja [''a<sub>n</sub>'',''b<sub>n</sub>''] um intervalo de números reais e suponha-se que a sucessão ([''a<sub>n</sub>'',''b<sub>n</sub>''])<sub>''n''&nbsp;&isin;&nbsp;'''N'''</sub> é decrescente, ou seja
:<math>[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset[a_3,b_3]\supset\cdots</math>
Então existe algum número ''c'' que pertence a todos os intervalos [''a<sub>n</sub>'',''b<sub>n</sub>''], o que é o mesmo que dizer que
:<math>\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n,b_n]\neq\emptyset.</math>
 
== Demonstração ==
Como a sucessão (''a<sub>n</sub>'')<sub>''n''&nbsp;&isin;&nbsp;'''N'''</sub> é crescente e é majorada (por todos os ''b<sub>n</sub>''),
converge para algum número ''a'' e, analogamente, a sucessão (''b<sub>n</sub>'')<sub>''n''&nbsp;&isin;&nbsp;'''N'''</sub> converge para algum ''b''. Como qualquer ''a<sub>n</sub>'' é menor ou igual que qualquer ''b<sub>n</sub>'', tem-se ''a''&nbsp;&le;&nbsp;''b''. Por outro lado, é claro que, se ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;'''R''', então
:<math>x\geqslant a\Leftrightarrow(\forall n\in\mathbb{N}):x\geqslant a_n</math>
o que é o mesmo que dizer que:
:<math>\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n,b_n]=[a,b]\neq\emptyset.</math>
 
== Generalizações ==
* Seja {[''a<sub>i</sub>'',''b<sub>i</sub>''] | ''i''&nbsp;&isin;&nbsp;''I''} um conjunto de intervalos fechados de um intervalo [''a'',''b''] e suponha-se que qualquer qualquer parte finita daquele conjunto tem intersecção não vazia. Então
:<math>\bigcap_{i\in I}[a_i,b_i]\neq\emptyset.</math>
* Uma sucessão decrescente (''K<sub>n</sub>'')<sub>''n''&nbsp;&isin;&nbsp;'''N'''</sub> de partes fechadas, limitadas e não vazias de '''R'''<sup>''n''</sup> tem intersecção não vazia.
 
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[[Categoria:Análise matemática]]
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