Teste da raiz: diferenças entre revisões

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O '''teste da raiz''', '''critério da raiz''' ou '''teste de [[Cauchy]]''' é um [[teorema]] que permite estabelacer a convergência de uma [[série (matemática)|série numérica]]. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma [[série de funções]] e permite estabelecer o [[raio de convergência]] de uma [[série de Taylor]]
 
== Enunciado ==
Seja <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> uma [[série (matemática)|série numérica]] e a constante <math>k</math> definida pelo [[limite]]:
* <math>k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </math>
Linha 20:
Portanto a série converge.
 
== Exemplo 2 ==
Considere a [[série]] dada por:
:* <math>\sum_{n=0}^{\infty}2^{n(-1)^n}</math>
:<math>k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{n(-1)^n}|}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(2^{(-1)^n})^n|}
 
= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{(-1)^n}|^n}=</math>
:<math>=\lim_{n \to \infty}{|2^{(-1)^n}|}=\lim_{n \to \infty}b_n</math>, em que:
 
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== Demonstração para k<1 ==
Seja:
:<math>k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </math>
 
Linha 51 ⟶ 52:
E imediatamente:
:<math>|a_{n_j}| \geq u^{n_j},~~\forall j=1,2,3,\ldots</math>
E portanto,
<math>\limsup_{n \to \infty} |a_n| = \infty </math>
 
Pelo [[teste da divergência]], a série não pode convergir.
 
 
<math></math>
 
 
 
{{esboço-matemática}}
 
{{DEFAULTSORT:Teste Raiz}}
[[Categoria:Testes de convergência]]