Conjunto gerador de um grupo: diferenças entre revisões

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Todo grupo finito é finitamente gerado desde que <''G''>&nbsp;=&nbsp;''G''. A adição dos inteiros é um exemplo de um grupo infinito que é finitamente gerado por ambos 1 e -1, mas o grupo de adição dos racionais não pode ser definido como finitamente gerado.
 
Diferentes subconjuntos do mesmo grupo podem ser subconjuntos gerados; por exemplo, se p e q são inteiros com mdc(''p'',&nbsp;''q'')&nbsp;=&nbsp;1, então {''p'',&nbsp;''q''} também geram o grupo de adição de inteiros (porpela ([[Bézout's identity | Em teoria de números, a '''identidadeIdentidade de Bézout''' ou| '''lemaIndentidade de Bézout''' é uma equação diofantina equação linear]]). Ela estabelece que se ''a'' e ''b'' são inteiros não nulos cujo máximo divisor comum é ''d'', então existem inteiros ''x'' e ''y'' (conhecidos como ''coeficientes de Bézout'' ou ''números de Bézout'') tais que
: <math> ax+by=d. \, </math>
Além disso, ''d'' é o menor inteiro positivo para o qual existem soluções inteiras para a equação anterior]]).
 
Enquanto for verdade que todo quociente de um grupo finitamente gerado é finitamente gerado(simplismente tome as imagens de geradores no quociente), um subgrupo de um grupo finitamente gerado não precisa ser finitamente gerado. Por exemplo, tome ''G'' como sendo um grupo livre em dois geradores, ''x'' e ''y'' (que é claramente finitamente gerado, desde que ''G'' = <{''x'',''y''}>), e tome ''S'' como sendo um subconjunto consistindo em todos os elementos de ''G'' da forma ''y''<sup>''n''</sup>''xy''<sup>−''n''</sup>, dado ''n'' um número natural. Desde que <''S''> seja claramente isomórfico para o grupo livre nos geradores contábeis, isto não pode ser finitamente gerado. Contudo, todo grupo de um grupo abeliano finitamente gerado é em si finitamente gerado. Um pouco mais pode ser dito sobre isso, porém: a classe de todos os grupos finitamente gerados é fechado sobre expressões. Para visualizar, tome um conjunto gerado por um (finitamente gerado) subgrupo normal e quociente: então os geradores para o grupo normal, juntos com pré-imagens dos geradores para o quociente, gera o grupo.
:(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)
 
Grupos infinitos também ter geradores de conjuntos finitos. O grupo de adição de inteiros tem 1 como um conjunto gerador. O elemento 2 não é conjunto gerador, como os números ímpares estará ausente. O subconjunto de dois elementos {3,&nbsp;5} é um conjunto gerador, desde que (&minus;5)&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;=&nbsp;1 (de fato, qualquer par de números coprimos é, como uma consequência da [[Identidade de '''Bézout's identity'''| Indentidade de Bézout]]).
 
 
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