Conjunto gerador de um grupo: diferenças entre revisões

sem resumo de edição
Todo grupo finito é finitamente gerado desde que <''G''>&nbsp;=&nbsp;''G''. A adição dos inteiros é um exemplo de um grupo infinito que é finitamente gerado por ambos 1 e -1, mas o grupo de adição dos racionais não pode ser definido como finitamente gerado.
 
Diferentes subconjuntos do mesmo grupo podem ser subconjuntos gerados; por exemplo, se p e q são inteiros com mdc(''p'',&nbsp;''q'')&nbsp;=&nbsp;1, então {''p'',&nbsp;''q''} também geram o grupo de adição de inteiros pela ([[Identidade de Bézout | Indentidade de Bézout]]).
 
Enquanto for verdade que todo quociente de um grupo finitamente gerado é finitamente gerado(simplismentesimplesmente tome as imagens de geradores no quociente), um subgrupo de um grupo finitamente gerado não precisa ser finitamente gerado. Por exemplo, tome ''G'' como sendo um grupo livre em dois geradores, ''x'' e ''y'' (que é claramente finitamente gerado, desde que ''G'' = <{''x'',''y''}>), e tome ''S'' como sendo um subconjunto consistindo em todos os elementos de ''G'' da forma ''y''<sup>''n''</sup>''xy''<sup>−''n''</sup>, dado ''n'' um número natural. Desde que <''S''> seja claramente isomórfico para o grupo livre nos geradores contábeis, isto não pode ser finitamente gerado. Contudo, todo grupo de um grupo abeliano finitamente gerado é em si finitamente gerado. Um pouco mais pode ser dito sobre isso, porém: a classe de todos os grupos finitamente gerados é fechado sobre expressões. Para visualizar, tome um conjunto gerado por um (finitamente gerado) subgrupo normal e quociente: então os geradores para o grupo normal, juntos com pré-imagens dos geradores para o quociente, gera o grupo.
 
==Grupo livre==
Utilizador anónimo