Conjunto gerador de um grupo: diferenças entre revisões

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Diferentes subconjuntos do mesmo grupo podem ser subconjuntos gerados; por exemplo, se p e q são inteiros com mdc(''p'', ''q'') = 1, então {''p'', ''q''} também geram o grupo de adição de inteiros pela [[Identidade de Bézout | Indentidade de Bézout]].
 
Enquanto for verdade que todo quociente de um grupo finitamente gerado é finitamente gerado(simplesmente tome as imagens de geradores no quociente), um subgrupo de um grupo finitamente gerado não precisa ser finitamente gerado. Por exemplo, tome ''G'' como sendo um grupo livre em dois geradores, ''x'' e ''y'' (que é claramente finitamente gerado, desde que ''G'' = <{''x'',''y''}>), e tome ''S'' como sendo um subconjunto consistindo em todos os elementos de ''G'' da forma '''''y''<sup>''n''</sup>''xy''<sup>−''n''</sup>''''', dado ''n'' um número natural. Desde que <''S''> seja claramente isomórfico para o grupo livre nos geradores contábeis, isto não pode ser finitamente gerado. Contudo, todo grupo de um grupo abeliano finitamente gerado é em si finitamente gerado. Um pouco mais pode ser dito sobre isso, porém: a classe de todos os grupos finitamente gerados é fechado sobre expressões. Para visualizar, tome um conjunto gerado por um (finitamente gerado) subgrupo normal e quociente: então os geradores para o grupo normal, juntos com pré-imagens dos geradores para o quociente, gera o grupo.
 
==Grupo livre==
 
==Exemplos==
A união de grupos '''U('''Z'''<sub>9</sub>)''' é o grupo de todos os inteiros relativamente primos a&nbsp;9 sob multiplicação de '''mod&nbsp;9 (U<sub>9</sub>&nbsp;=&nbsp;{1,&nbsp;2,&nbsp;4,&nbsp;5,&nbsp;7,&nbsp;8})'''. Toda aritmética aqui está feita em ''módulo 9''. Sete não é gerador de '''U(Z9)''', desde que
 
:<math>\{7^i\pmod{9}\ |\ i \in \mathbb{N}\} = \{7,4,1\}.</math>
Por outro lado, para ''n'' > 2 o grupo simétrico de grau ''n'' não é cíclico, então não é gerado por qualquer outro elemento. Contudo, é gerado pelas duas permutações (1 2) e (1&nbsp;2&nbsp;3&nbsp;...&nbsp;''n''). Por exemplo, para ''S''<sub>3</sub> temos:
 
:''<math>e'' = (1 2)(1 2)</math>
:<math>(1 2) = (1 2)</math>
:<math>(1 3) = (1 2)(1 2 3)</math>
:<math>(2 3) = (1 2 3)(1 2)</math>
:<math>(1 2 3) = (1 2 3)</math>
:<math>(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)</math>
 
Grupos infinitos também ter geradores de conjuntos finitos. O grupo de adição de inteiros tem 1 como um conjunto gerador. O elemento 2 não é conjunto gerador, como os números ímpares estará ausente. O subconjunto de dois elementos {3,&nbsp;5} é um conjunto gerador, desde que (&minus;5)&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;=&nbsp;1 (de fato, qualquer par de números coprimos é, como uma consequência da [[Identidade de Bézout | Indentidade de Bézout]]).
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