Função modular: diferenças entre revisões

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[[Imagem:Absolute value.svg|280px|thumb]]
 
O '''módulo''', '''valor modular''' ou '''valor absoluto''' ([[símbolos matemáticos|representado matematicamente]] como |a|) de um número real ''a'' é o valor numérico de ''a'' desconsiderando seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua [[magnitude]].
 
== Definição ==
O módulo de ''a'' pode ser definido da seguinte forma:
 
:<math>|a| = \begin{cases} a, & \mbox{seif } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{seif } a < 0. \end{cases} </math>
 
Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de ''a'' é sempre [[Número positivo|positivo]] ou [[zero]], mas nunca [[Número negativo|negativo]].
[[Imagem:modulo de numero.gif|thumb|direita|Gráfico demonstrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos]]
Do ponto de vista da Geometriageometria Analíticaanalítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na [[reta numérica real]], e, em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato, a noção abstrata de distância em Matemáticamatemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.
 
== Propriedades ==
Como a notação da [[raiz quadrada]] sem sinal representa a raiz quadrada ''positiva'', segue que
 
:{|
|}
 
que, às vezes, é utilizado como definição do valor absoluto.<ref>{{Cite book| author=Stewart, James B. | coauthors= | title=Calculus: concepts and contexts | year=2001 | publisher=Brooks/Cole | location=Australia | isbn=0-534-37718-1 | pages=}}, p. A5</ref>
 
O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:
 
:{|
|}
 
Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:
 
:{|
|<math>|a - b| = 0 \iff a = b </math>
| <math>(7)</math>
| [[Princípio da identidade dos indiscerníveis|Identidade dos Indiscerníveisindiscerníveis]] (equivalente a ser positivo definido)
|-
|<math>|a - b| \le |a - c| +|c - b| </math>
| <math>(8)</math>
|[[Desigualdadedesigualdade Triangulartriangular]] (equivalente à subadtividade)
|-
|<math>|a/b| = |a| / |b| \mbox{ (seif } b \ne 0) \,</math>
| <math>(9)</math>
| Preservação da Divisãodivisão (equivalente à multiplicatividade)
|-
|<math>|a-b| \ge ||a| - |b|| </math>
|}
 
No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:
:<math>|a| \le b \iff -b \le a \le b </math>
:<math>|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ ouor } b \le a </math>
 
Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:
 
:{|
|}
 
O valor absoluto é usado para definir a [[diferença absoluta]], uma métrica usual nos números reais.
 
Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:
* <math>|ax|^2 = ax^2,\qquad \forall ax \in \mathbb{R}</math>
* <math>|-ax|=|ax|,\qquad \forall ax \in \mathbb{R}</math>
* <math>|ax-by|\le|ax|+|by|,\qquad \forall ax,by \in \mathbb{R}</math>
 
{{Referências|Notas e referências}}
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