Teorema de Pitágoras: diferenças entre revisões

O '''teorema de Pitágoras''' é uma [[Relação (matemática)|relação matemática]] entre os três lados de qualquer [[triângulo retângulo]]. Na [[geometria euclidiana]], o [[teorema]] afirma que:

{{cquote|Em qualquer triângulo retângulo, o [[quadrado (aritmética)|quadrado]] do [[comprimento]] da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.}}

O teorema de Pitágoras leva o nome do [[Matemática|matemático]] [[Grécia|grego]] [[Pitágoras]] (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e [[Prova matemática|demonstração]],<ref name=Baynes>

 

 

</ref><ref name="Heath, Vol I, p. 144">Heath, Vol I, p. 144.</ref> embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que [[Matemática babilônica|matemáticos babilônicos]] conheciam [[algoritmo]]s para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).<ref name=Neugebauer> {{cite book |title=The exact sciences in antiquity |page=36 |url=

 

== Fórmula e corolários ==

 

Sendo ''c'' o [[comprimento]] da hipotenusa e ''a'' e ''b'' os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:

 

Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por [[Pitágoras]], entretanto, muitos autores concordam que ela teria sido feita através da comparação de áreas{{carece de fontes|data=Junho de 2009}}, conforme se segue:

# Desenha-se um [[quadrado]] de lado <math>b + a</math>;

# Traçam-se dois [[segmento]]s [[paralelismo|paralelos]] aos lados do [[quadrado]];

# A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a <math>b^2 + a^2</math>;

# Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado <math>b + a</math>, mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.

 

Como <math>b^2 + a^2</math> representa a [[Área#Quadrado|área do quadrado maior]] subtraída da soma das [[Área#Triângulo|áreas dos triângulos retângulos]], e <math>c^2</math> representa a mesma área, então '''<math>b^2 + a^2 = c^2</math>'''. Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos

 

=== Por semelhança de triângulos ===

Esta demonstração se baseia na [[proporcionalidade]] dos lados de dois triângulos [[Semelhança|semelhantes]], isto é, que a [[Razão (matemática)|razão]] entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.

 

Sendo ''ABC'' um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em ''C'', como mostrado na figura. Desenha-se a [[Altura (geometria)|altura]] com origem no ponto ''C'', e chama-se ''H'' sua intersecção com o lado ''AB''. O ponto ''H'' divide o comprimento da hipotenusa, ''c'', nas partes ''d'' e ''e''. O novo triângulo, ''ACH'', é [[Semelhança|semelhante]] ao triângulo ''ABC'', pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em ''A'', significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também,<ref>Pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus ([[32ª proposição de Euclides]]).</ref> marcado como ''θ'' na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo ''CBH'' também é semelhante à ''ABC''. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

 

 

O primeiro resultado é igual ao [[cosseno]] de cada ângulo ''θ'' e o segundo resultado é igual ao [[seno]].

Estas relações podem ser escritas como:

Somando estas duas igualdades, obtém-se

que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:

 

=== Demonstração algébrica ===

A análise da figura da direita permite computar a [[Quadrado#F.C3.B3rmulas m.C3.A9tricas|área do quadrado]] construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (''b−a''). Equacionando-se, segue que:

:<math>c^2 = \frac{4ab}{2}\ + (b-a)^2\,\!.</math>

Logo:

:<math>c^2 = b^2 + a^2 \ .</math> (por [[comutatividade]] da [[multiplicação]]: ''2ab = 2ba'')

 

Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças em um lado produzem mudanças na hipotenusa e usando um pouco de [[cálculo]]. É uma demonstração baseada na interpretação métrica do teorema, visto que usa comprimentos, não áreas.

 

 

Como resultado da mudança ''da'' no lado ''a'',

Pela [[Integral|integração]], segue:

 

 

Quando ''a'' = 0 então ''c'' = ''b'', então a "constante" é ''b''². Logo,

 

 

=== Pelo rearranjo das partes ===

 

Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda. Como a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área preta total é constante também. E a área preta pode ser dividida em quadrados delineados pelos lados ''a, b, c'' do triângulo, demonstrando que {{nowrap|''a''² + ''b''²}} = ''c''².

Talvez nenhuma outra [[Relação (matemática)|relação]] [[Geometria|geométrica]] seja tão utilizada em [[matemática]] como o teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cujas resoluções têm como base este famoso teorema {{carece de fontes|data=Junho de 2009}}. É possível utilizar o teorema de Pitágoras em todos os [[polígono]]s, pois eles podem ser divididos em [[triângulo]]s e esses em triângulos retângulos. E por extensão, a todos os [[poliedro]]s.

=== A diagonal do quadrado ===

:<math>d^2=l^2+l^2=2\,l^2\,\! .</math>

Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:

 

=== A altura do triângulo equilátero ===

 

:<math>h^2=\frac{3\,l^2}{4}\,\! \ .</math>

 

 

=== A diagonal do cubo ===

Seja ''a'' a medida de sua aresta (medida de um lado de uma face quadrada)

:<math>AC^2=a^2+a^2 \,\! .</math> (I)

=== Identidade trigonométrica fundamental ===

{{principal|Identidade trigonométrica fundamental}}

:<math>\sin \theta = \frac{b}{c}, \quad \cos \theta = \frac{a}{c}.</math>

Disso, segue que:

:<math> {\cos}^2 \theta + {\sin}^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1,</math>

 

{{principal|Terno pitagórico}}

Um terno pitagórico (trio pitagórico) consiste em três números inteiros positivos ''a'', ''b'', e ''c'', tais que {{nowrap|''a'' ² + ''b'' ² {{=}} ''c'' ²}}. Em outras palavras, um terno pitagórico representa os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde todos os três lados têm comprimentos inteiros. Essa tripla é geralmente escrita como {{nowrap|(''a'', ''b'', ''c'' ).}} Alguns exemplos bem conhecidos são {{nowrap|(3, 4, 5)}} e {{nowrap|(5, 12, 13)}}.

 

=== Números irracionais como comprimento ===

Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que comprimentos [[Comensurável|incomensuráveis]] (ou seja, cuja [[razão]] é um [[número irracional]], tal como a raiz quadrada de 2), podem ser construídos, com instrumentos como [[Construções com régua e compasso|régua e compasso]]. Um triângulo retângulo com ambos os catetos iguais a uma unidade tem uma hipotenusa de [[comprimento]] igual a raiz quadrada de 2. A figura da direita mostra como construir segmentos de reta com comprimentos iguais a raiz quadrada de qualquer número inteiro positivo.

 

{{principal|Lei dos cossenos}}

O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. A [[lei dos cossenos]] permite calculá-lo em qualquer [[triângulo]]. Assim, o teorema de Pitágoras é um caso especial do teorema mais geral que relaciona o comprimento dos lados de qualquer triângulo, a lei dos cossenos é a seguinte:

onde θ é o ângulo entre os lados ''a'' e ''b''. Quando θ é 90 graus, cos(θ) = 0, assim, a fórmula reduz-se ao teorema de Pitágoras.

 

 

=== Figuras semelhantes nos três lados ===

 

O teorema de Pitágoras foi generalizado por [[Euclides]] em seu livro ''[[Os Elementos]]'' para estender-se além das áreas dos quadrados nos três lados, para figuras semelhantes:<ref>''Elementos''. Livro VI, Proposição VI</ref>

 

== Na geometria esférica e hiperbólica ==

O teorema de Pitágoras é derivado dos [[axioma]]s da [[geometria euclidiana]], e de fato, a versão euclidiana não é válida nas [[geometria não euclidiana|geometrias não euclidianas]]. (Foi mostrado que o teorema de Pitágoras é equivalente ao [[postulado das paralelas]]) Em outras palavras, numa geometria não euclidiana, a relação entre os lados de um triângulo deve necessariamente tomar outra forma. Por exemplo, na geometria esférica, a² + b² ≠ c².

 

== História ==

{{expandir}}

A história do teorema pode ser dividida em quatro partes: o conhecimento de [[Terno pitagórico|trios pitagóricos]], conhecimento da relação entre os lados de um [[triângulo retângulo]], conhecimento das relações entre ângulos adjacentes, e demonstrações do teorema dentro de sistemas dedutivos.

 

<ref>[http://www.chinapage.com/math/s9/pythagoras.html Proof of Guogu or Pythagoras' Theorem] {{en}}</ref>

 

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