Diferenças entre edições de "Número cardinal"

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A [[hipótese do continuum]] diz que c (cardinal dos números reais) é igual a <math>\aleph_1</math>, e sua negação diz que existe um conjunto X tal que <math>|\mathbb{N}| < |X| < |\mathbb{R}|</math>.
 
== História ==
A noção de cardinalidade, como é compreendida hoje em dia, foi formulada por [[Georg Cantor]], o criador da [[teoria dos conjuntos]], em 1874-1884. Cantor foi o primeiro a estabelecer a cardinalidade como um instrumento para comparar conjuntos finitos; por exemplo, os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4} não são iguais, mas têm a mesma cardinalidade: três.
 
Cantor identificou o fato que a [[Função_bijectiva|correspondência um-para-um]] é a maneira de dizer que dois conjuntos têm o mesmo tamanho, chamado "cardinalidade", no caso de conjuntos finitos. Usando esta correspondência de um-para-um, ele aplicou o conceito de conjuntos infinitos, por exemplo, o conjunto de números naturais <math>\mathbb{N}</math> = {0, 1, 2, 3, ...}. Ele chamou esses números cardinais de [[números cardinais transfinitos]], e definiu que todos os conjuntos que tenham uma correspondência com <math>\mathbb{N}</math> são [[conjuntos enumeráveis]] (contável infinito).
 
Nomeando este número cardinal <math>\aleph_0</math>, [[aleph-null]], Cantor provou que qualquer subconjunto ilimitado de <math>\mathbb{N}</math> tem a mesma cardinalidade que <math>\mathbb{N}</math>, mesmo que à primeira vista isso possa parecer funcionar, são contrários à intuição. Ele também mostrou que o conjunto de todos os [[pares ordenados]] de números naturais é enumerável (o que implica que o conjunto de todos os [[números racionais]] é enumerável), e mais tarde mostrou que o conjunto de todos os [[números algébricos]] é também enumerável. Cada número algébrico ''z'' podem ser codificados como uma sequência finita de números inteiros cujos coeficientes na equação polinomial de que é a solução, ou seja, a n-tupla ordenada <math>(a_0, a_1, ..., a_n),\; a_i \in \mathbb{Z},</math> juntamente com um par de racionais <math>(b_0, b_1)</math> tais que ''z'' é a única raiz do polinômio com coeficientes <math>(a_0, a_1, ..., a_n)</math> que se situa no intervalo <math>(b_0, b_1)</math>.
 
Em seu artigo de 1874, Cantor provou que existem números cardeais de ordem superior, mostrando que o conjunto dos números reais tem cardinalidade maior que a de N. Sua apresentação original usou um argumento complexo, com [intervalos aninhados], mas em um artigo de 1891, ele provou a mesmo resultado usando um argumento engenhoso, mas simples diagonal. Este novo número cardinal, chamado a [[cardinalidade do contínuo]], foi denominado <math>\mathfrak{c}</math> por Cantor.
 
Cantor também desenvolveu uma grande parte da teoria geral dos números cardinais, ele provou que há um número cardinal transfinito menor (<math>\aleph_0</math>, aleph-null) e que para todo número cardinal, há um próximo cardinal maior <math>(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots).\ </math>
 
Sua hipótese do contínuo é a proposição que <math>\mathfrak{c}</math> é a mesma que <math>\aleph_1</math>, mas este foi encontrado para ser independente dos axiomas padrão da teoria dos conjuntos da matemática, ele nem pode ser provado nem refutado sob os padrões pressupostos.
 
 
== Definição formal ==
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