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A noção de cardinalidade, como é compreendida hoje em dia, foi formulada por [[Georg Cantor]], o criador da [[teoria dos conjuntos]], em 1874-1884. Cantor foi o primeiro a estabelecer a cardinalidade como um instrumento para comparar conjuntos finitos; por exemplo, os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4} não são iguais, mas têm a mesma cardinalidade: três.
 
Cantor identificou o fato que a [[Função_bijectiva|correspondência um-para-um]] é a maneira de dizer que dois conjuntos têm o mesmo tamanho, chamado "cardinalidade", no caso de conjuntos finitos. Usando esta correspondência de um-para-um, ele aplicou o conceito de conjuntos infinitos, por exemplo, o conjunto de números naturais <math>\mathbb{N}</math> = {0, 1, 2, 3, ...}. Ele chamou esses números cardinais de [[Número_transfinito|números cardinais transfinitos]], e definiu que todos os conjuntos que tenham uma correspondência com <math>\mathbb{N}</math> são [[Conjunto_contável|conjuntos enumeráveis]] (contável infinito).
 
Nomeando este número cardinal <math>\aleph_0</math>, [[Aleph_(matemática)|aleph-null]], Cantor provou que qualquer subconjunto ilimitado de <math>\mathbb{N}</math> tem a mesma cardinalidade que <math>\mathbb{N}</math>, mesmo que à primeira vista isso possa parecer funcionar, são contrários à intuição. Ele também mostrou que o conjunto de todos os [[pares ordenados]] de números naturais é enumerável (o que implica que o conjunto de todos os [[números racionais]] é enumerável), e mais tarde mostrou que o conjunto de todos os [[números algébricos]] é também enumerável. Cada número algébrico ''z'' podem ser codificados como uma sequência finita de números inteiros cujos coeficientes na equação polinomial de que é a solução, ou seja, a n-tupla ordenada <math>(a_0, a_1, ..., a_n),\; a_i \in \mathbb{Z},</math> juntamente com um par de racionais <math>(b_0, b_1)</math> tais que ''z'' é a única raiz do polinômio com coeficientes <math>(a_0, a_1, ..., a_n)</math> que se situa no intervalo <math>(b_0, b_1)</math>.
 
Em seu artigo de 1874, Cantor provou que existem números cardeais de ordem superior, mostrando que o conjunto dos números reais tem cardinalidade maior que a de N. Sua apresentação original usou um argumento complexo, com [intervalos aninhados], mas em um artigo de 1891, ele provou a mesmo resultado usando um argumento engenhoso, mas simples diagonal. Este novo número cardinal, chamado a [[cardinalidade do contínuo]], foi denominado <math>\mathfrak{c}</math> por Cantor.
 
Sua hipótese do contínuo é a proposição que <math>\mathfrak{c}</math> é a mesma que <math>\aleph_1</math>, mas este foi encontrado para ser independente dos axiomas padrão da teoria dos conjuntos da matemática, ele nem pode ser provado nem refutado sob os padrões pressupostos.
 
== Motivação ==
Em utilização informal, um '''número cardinal''' é o que é normalmente referido como um [[número de contagem]], desde que 0 esteja incluído: 0, 1, 2, .... Eles podem ser identificados como os [[números naturais]] começando com 0. Os números de contagem são exatamente o que pode ser definido formalmente como os números cardinais [[finitos]]. Cardeais infinitos ocorrem apenas em nível mais alto da matemática e lógica.
 
Mais formalmente, um número diferente de zero pode ser usados para duas finalidades: para descrever o tamanho de um conjunto, ou para descrever a posição de um elemento numa sequência. Para conjuntos finitos e sequencias é fácil ver que estas duas noções coincidem, para todo número que descreve uma posição em uma seqüência, podemos construir um conjunto que tem exatamente o tamanho certo, por exemplo, 3 descreve a posição do 'c' na seqüência <'a', 'b', 'c', 'd', ...>, e podemos construir o conjunto {a, b, c}, que tem 3 elementos . No entanto quando se tratar de [[conjuntos infinitos]] é essencial distinguir entre os dois - as duas noções são de fato diferentes para conjuntos infinitos. Considerando o aspecto que a posição leva a um [[número ordinal]], enquanto o aspecto de tamanho é generalizado pelos números cardinais aqui descritos.
 
A intuição por trás da definição formal do cardinal é a construção de uma noção do tamanho relativo ou "grandeza" de um conjunto sem referência ao tipo de membros que ele tem. Para conjuntos finitos isso é fácil; uma simples conta acha o número de elementos de um conjunto. A fim de comparar os tamanhos dos conjuntos maiores, é necessário apelar para noções mais sutis.
 
Um conjunto ''A'' é pelo menos tão grande como, ou maior do que, ou igual a um conjunto ''B'', se houver um mapeamento (um-para-um) [[injetivo]] a partir dos elementos de ''B'' para os elementos de ''A''. Um mapeamento um-para-um identifica cada elemento do conjunto ''B'' com um único elemento do conjunto de ''A''. Isto é mais facilmente compreendida por um exemplo; suponha que temos os conjuntos ''B'' = {1,2,3} e ''A'' = {a, b, c, d }, então usando a noção do tamanho, observa-se que não há um mapeamento:
1 → a
2 → b
3 → c
que é um-para-um, e daí conclui-se que ''B'' tem cardinalidade maior ou igual a ''A''. Observe o elemento ''d'' não tem mapeamento para ele, mas isso é permitido à medida que requerem apenas um mapeamento um-para-um, e não necessariamente um-para-um e para o mapeamento. A vantagem deste conceito é que ele pode ser estendido para conjuntos infinitos.
 
Então podemos estender isso para uma relação de igualdade de estilo. Diz-se que dois conjuntos ''B'' e ''A'' tem a mesma cardinalidade se existe uma [[bijeção]] entre ''B'' e ''A''. Pelo [[teorema de Schroeder-Bernstein]], isto é equivalente a existência de ambos mapeamento de um-para-um de ''B'' para ''A'' e outro de ''A'' para ''B''. Então escreve-se | B | = | A |. O número cardinal de A em si é definido como o menor ordinal a com | a | = | B |. Isso é chamado de [[atribuição cardinal de von Neumann]], para esta definição fazer sentido, deve-se comprovar que todo conjunto tem a mesma cardinalidade assim como o ordinal; esta afirmação é o [[princípio da boa ordenação]]. No entanto, é possível discutir a cardinalidade relativa dos conjuntos sem explicitamente atribuir nomes a objetos.
 
O exemplo clássico utilizado é o do paradoxo hotel infinito, também chamado [[Paradoxo de Hilbert do Grand Hotel]]. Suponha que você é um estalajadeiro em um hotel com um número infinito de quartos. O hotel está cheio, e então um novo hóspede chega. É possível hospedar o hóspede extra perguntando a quem estava no quarto 1 para ir para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 mover-se para o quarto 3, e assim por diante, deixando o espaço 1 vago. Nós podemos escrever explicitamente um segmento deste mapeamento:
1 ↔ 2
2 ↔ 3
3 ↔ 4
...
n ↔ n+1
...
 
Ao considerar esses objetos grandes, podemos querer ver se a noção de ordem de contagem coincide com a do cardinal acima definido para estes conjuntos infinitos. Acontece que ele não faz; considerando o exemplo acima, podemos ver que, se algum objeto "maior que o infinito" existe, então ele deve ter a mesma cardinalidade que o conjunto infinito que começamos. É possível usar uma noção formal diferente para número, chamado [[ordinais]], baseado nas idéias de contagem e considerando cada número, por sua vez, e descobrimos que as noções de cardinalidade e ordinalidade são divergentes, uma vez que sair dos números finitos.
 
Pode ser provado que a cardinalidade dos números reais é maior do que a dos [[números naturais]] que acabamos de descrever. Isto pode ser visualizado usando o [[Argumento Diagonal de Cantor]]; questões clássicas da cardinalidade (por exemplo, a [[hipótese do contínuo]]) estão preocupadas em descobrir se há algum cardinal entre alguns pares de outros cardeais infinitos. Em tempos mais recentes matemáticos foram descrever as propriedades de cardeais cada vez maiores.
 
 
 
Para esta definição fazer sentido, é preciso mostrar que este ordinal existe, e que ele é único. Se o conjunto <math>A</math> é não vazio, então pelo [[Axioma da escolha]] pode ser bem ordenado e, portanto, equipotente a algum ordinal. Ou seja, o conjunto dos ordinais equipotentes a <math>A</math> é não vazio. Novamente, pelo ''Axioma da escolha'', existe um menor ordinal equipotente a <math>A</math>.
 
 
 
== Operações com Cardinais ==
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