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Para esta definição fazer sentido, é preciso mostrar que este ordinal existe, e que ele é único. Se o conjunto <math>A</math> é não vazio, então pelo [[Axioma da escolha]] pode ser bem ordenado e, portanto, equipotente a algum ordinal. Ou seja, o conjunto dos ordinais equipotentes a <math>A</math> é não vazio. Novamente, pelo ''Axioma da escolha'', existe um menor ordinal equipotente a <math>A</math>.
 
<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number]</ref>
Formalmente, assumindo o axioma da escolha, a cardinalidade de um conjunto <math> A </math> é o menor ordinal α tal que existe uma bijeção entre <math>A </math> e α. Esta definição é conhecida como a [[atribuição do cardinal de von Neumann]]. A mais antiga definição da cardinalidade de um conjunto <math>A </math> (implícito e explícito de Cantor, Frege e [[Principia Mathematica]]) é como a classe <math> [A] </math> de todos os conjuntos que são equinumeráveis com <math>A</math>. Isso não funciona em [[ZFC]] ou outros sistemas relacionados da [[teoria axiomática dos conjuntos]], pois se <math>A</math> é não vazio, esta coleção é muito grande para ser um conjunto. De fato, para <math>A ≠ </math> há uma injeção do universo em <math> [A] </math>pelo mapeamento de um conjunto de ‘’m’’ para ‘’{m}’’ × <math>A</math> e assim por limitação de tamanho, <math> [A] </math> é uma classe adequada. A definição funciona, no entanto, em [[teoria de tipo]] e em [[novas bases]] e sistemas relacionados. No entanto, se restringir desta classe para aqueles equinumeráveis com <math>A</math> que tenham o mínimo de classificação, então ele vai trabalhar (isto é um truque devido à [[Dana Scott]]: <ref>[Deiser, Oliver (May 2010). "On the Development of the Notion of a Cardinal Number". History and Philosophy of Logic 31 (2): 123–143. DOI:10.1080/01445340903545904] </ref> funciona porque a coleção de objetos com qualquer classificação dada é um conjunto ).
 
Formalmente, a ordem entre números cardinais é definida como segue: <math>| A | ≤ | B |</math> significa que existe uma função injetiva de <math>A</math> a <math>B</math>. O [[teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder]] declara que se <math>| A | ≤ | B |</math> e <math>| B | ≤ | A |</math> então <math>| A | = | B |</math>. O [[axioma da escolha]] é equivalente à afirmação de que dados dois conjuntos <math>A</math> e <math>B</math>, ou <math>| A | ≤ | B |</math> ou <math>| B | ≤ | A |</math>. <ref>[Enderton, Herbert. "Elements of Set Theory", Academic Press Inc., 1977. ISBN 0-12-238440-7] </ref>
 
Um conjunto A é um [[infinito de Dedekind]] se existe um subconjunto próprio <math>B</math> de <math>A</math> com <math>| A | = | B |</math> e [[finito de Dedekind]] se um subconjunto não existe. Os cardinais finitos são apenas os números naturais, ou seja, um conjunto <math>A</math> é finito se e somente se <math>| A | = | n | = n<math> para algum número natural ‘’n’’. Qualquer outro conjunto é infinito. Assumindo o axioma da escolha, pode ser provado que as noções de Dedekind correspondem aos padrões. Ele também pode provar que o cardinal <math>\aleph_0</math> ([[aleph nulo]] ou aleph-0, onde Aleph é a primeira letra do alfabeto hebraico, representada ) do conjunto dos números naturais é o menor cardinal infinito, por exemplo, qualquer conjunto infinito tem um subconjunto de cardinalidade <math>\aleph_0</math>. O próximo cardinal maior é denotado por <math>\aleph_1</math> e assim por diante. Para cada ordinal α há um número cardinal <math>\aleph_ α</math> e esta lista esgota todos os infinitos números cardinais.
 
 
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