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Removendo "<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number]</ref>", pois já existe um interwiki "en:Cardinal number" mais abaixo. Acredito que foi inserido apenas para indicar que o texto da edição anterior também foi tradução do inglês
Para esta definição fazer sentido, é preciso mostrar que este ordinal existe, e que ele é único. Se o conjunto <math>A</math> é não vazio, então pelo [[Axioma da escolha]] pode ser bem ordenado e, portanto, equipotente a algum ordinal. Ou seja, o conjunto dos ordinais equipotentes a <math>A</math> é não vazio. Novamente, pelo ''Axioma da escolha'', existe um menor ordinal equipotente a <math>A</math>.
 
<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number]</ref>
Formalmente, assumindo o axioma da escolha, a cardinalidade de um conjunto <math> A </math> é o menor ordinal α tal que existe uma bijeção entre <math>A </math> e α. Esta definição é conhecida como a [[atribuição do cardinal de von Neumann]]. A mais antiga definição da cardinalidade de um conjunto <math>A </math> (implícito e explícito de Cantor, Frege e [[Principia Mathematica]]) é como a classe <math> [A] </math> de todos os conjuntos que são equinumeráveis com <math>A</math>. Isso não funciona em [[ZFC]] ou outros sistemas relacionados da [[teoria axiomática dos conjuntos]], pois se <math>A</math> é não vazio, esta coleção é muito grande para ser um conjunto. De fato, para <math>A ≠ </math> há uma injeção do universo em <math> [A] </math>pelo mapeamento de um conjunto de ‘’m’’ para ‘’{m}’’ × <math>A</math> e assim por limitação de tamanho, <math> [A] </math> é uma classe adequada. A definição funciona, no entanto, em [[teoria de tipo]] e em [[novas bases]] e sistemas relacionados. No entanto, se restringir desta classe para aqueles equinumeráveis com <math>A</math> que tenham o mínimo de classificação, então ele vai trabalhar (isto é um truque devido à [[Dana Scott]]: <ref>[Deiser, Oliver (May 2010). "On the Development of the Notion of a Cardinal Number". History and Philosophy of Logic 31 (2): 123–143. DOI:10.1080/01445340903545904] </ref> funciona porque a coleção de objetos com qualquer classificação dada é um conjunto ).