Diferenças entre edições de "Número cardinal"

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== História ==
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A noção de cardinalidade, como é compreendida hoje em dia, foi formulada por [[Georg Cantor]], o criador da [[teoria dos conjuntos]], em 1874-1884. Cantor foi o primeiro a estabelecer a cardinalidade como um instrumento para comparar conjuntos finitos; por exemplo, os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4} não são iguais, mas têm a mesma cardinalidade: três.
 
Um conjunto ''A'' é pelo menos tão grande como, ou maior do que, ou igual a um conjunto ''B'', se houver um mapeamento (um-para-um) [[injetivo]] a partir dos elementos de ''B'' para os elementos de ''A''. Um mapeamento um-para-um identifica cada elemento do conjunto ''B'' com um único elemento do conjunto de ''A''. Isto é mais facilmente compreendida por um exemplo; suponha que temos os conjuntos ''B'' = {1,2,3} e ''A'' = {a, b, c, d }, então usando a noção do tamanho, observa-se que não há um mapeamento:
1 → a
 
2 → b
 
3 → c
 
que é um-para-um, e daí conclui-se que ''B'' tem cardinalidade maior ou igual a ''A''. Observe o elemento ''d'' não tem mapeamento para ele, mas isso é permitido à medida que requerem apenas um mapeamento um-para-um, e não necessariamente um-para-um e para o mapeamento. A vantagem deste conceito é que ele pode ser estendido para conjuntos infinitos.
 
O exemplo clássico utilizado é o do paradoxo hotel infinito, também chamado [[Paradoxo de Hilbert do Grand Hotel]]. Suponha que você é um estalajadeiro em um hotel com um número infinito de quartos. O hotel está cheio, e então um novo hóspede chega. É possível hospedar o hóspede extra perguntando a quem estava no quarto 1 para ir para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 mover-se para o quarto 3, e assim por diante, deixando o espaço 1 vago. Nós podemos escrever explicitamente um segmento deste mapeamento:
1 ↔ 2
 
2 ↔ 3
 
3 ↔ 4
 
...
 
n ↔ n+1
 
...
 
Formalmente, a ordem entre números cardinais é definida como segue: <math>| A | ≤ | B |</math> significa que existe uma função injetiva de <math>A</math> a <math>B</math>. O [[teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder]] declara que se <math>| A | ≤ | B |</math> e <math>| B | ≤ | A |</math> então <math>| A | = | B |</math>. O [[axioma da escolha]] é equivalente à afirmação de que dados dois conjuntos <math>A</math> e <math>B</math>, ou <math>| A | ≤ | B |</math> ou <math>| B | ≤ | A |</math>. <ref>[Enderton, Herbert. "Elements of Set Theory", Academic Press Inc., 1977. ISBN 0-12-238440-7] </ref>
 
Um conjunto A é um [[infinito de Dedekind]] se existe um subconjunto próprio <math>B</math> de <math>A</math> com <math>| A | = | B |</math> e [[finito de Dedekind]] se um subconjunto não existe. Os cardinais finitos são apenas os números naturais, ou seja, um conjunto <math>A</math> é finito se e somente se <math>| A | = | n | = n</math> para algum número natural ‘’n’’. Qualquer outro conjunto é infinito. Assumindo o axioma da escolha, pode ser provado que as noções de Dedekind correspondem aos padrões. Ele também pode provar que o cardinal <math>\aleph_0</math> ([[aleph nulo]] ou aleph-0, onde Aleph é a primeira letra do alfabeto hebraico, representada <math>\aleph</math>) do conjunto dos números naturais é o menor cardinal infinito, por exemplo, qualquer conjunto infinito tem um subconjunto de cardinalidade <math>\aleph_0</math>. O próximo cardinal maior é denotado por <math>\aleph_1</math> e assim por diante. Para cada ordinal α há um número cardinal <math>\aleph_ α</math> e esta lista esgota todos os infinitos números cardinais.
 
 
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