Diferenças entre edições de "Teoremas de De Morgan"

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Desfeita a edição de 186.213.30.19 +correções automáticas (v0.26/3.1.27), -hack obsoleto desde o mw:MediaWiki 1.19 (ver também rev:104498 e bugzilla:31406#c24), format. <math>
m (Desfeita a edição de 186.213.30.19 +correções automáticas (v0.26/3.1.27), -hack obsoleto desde o mw:MediaWiki 1.19 (ver também rev:104498 e bugzilla:31406#c24), format. <math>)
Os teoremas do matemático [[Augustus De Morgan|De Morgan]] são propostas de simplificação de expressões em álgebra booleana de grande contribuição. Definem regras usadas para converter operações lógicas [[Disjunção lógica|OU]] em [[Conjunção lógica|E]] e vice versa.
 
Sendo <math> X, Y \in \{0, 1\}</math> e as operações em <math>\ \{0, 1\}</math> sendo <math> +, \cdot</math> e <math>\overline{\ } ,</math>, assim definidas:
{| class="wikitable"
|-
Considere X e Y como variáveis booleanas ou proposições cuja resposta seja {Sim, Não} ou {Verdadeiro, Falso} ou ainda {0,1}.
Seguem as leis de De Morgan conforme algumas notações possíveis:
 
=== [[Lógica proposicional]] ===
# <math>\lnot(X \land Y) \leftrightarrow (\lnot X)\lor (\lnot Y)</math>
# <math>\lnot(X \lor Y) \leftrightarrow (\lnot X) \land (\lnot Y)</math>
 
# <math>\overline{X \cdot Y}=\overline{X}+\overline{Y}</math>
# <math>\overline{X+Y}=\overline{X}\cdot\overline{Y}</math>
 
# O complemento, ou negação de um produto ([[Porta AND|AND]]) de variáveis é igual a soma([[Porta OR|OR]]) dos complementos das variáveis.<ref name="sistemas">FLOYD, Thomas L.; Sistemas digitais: Fundamentos e aplicação, 9ª ed, página 250, Bookman, 2007, Porto Alegre</ref>
# O complemento, ou negação de uma soma ([[Porta OR|OR]]) de variáveis é igual ao produto ([[Porta AND|AND]]) dos complementos das variáveis.<ref name="sistemas"/>
 
A figura 1.1 mostra o circuito que representa o 1. Teorema e a tabela abaixo representa sua respectiva tabela verdade.
[[FileImagem:2. Teorema.png|frame|leftesquerda|100px|1.1 Teorema]]
{| class="wikitable"
|-
| 1|| 1|| 0 || 0
|}
 
 
 
 
 
 
 
A figura 1.2 mostra o circuito que representa o 1. Teorema e a tabela abaixo representa sua respectiva tabela verdade.
[[FileImagem:1. Teorema.png|1.2 Teorema|frame|leftesquerda|100px|1.2 Teorema]]
 
{| class="wikitable"
| 1|| 1|| 0 || 0
|}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observada a equivalência na saída das tabelas, isto prova o mesmo comportamento lógico.
 
<math>\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C = X </math>
 
 
=== Textual ===
 
=== Generalização ===
 
A ideia é que ao "aplicar" a barra (operador Não) sobre uma outra operação, esta muda seu sinal, restando uma barra para cada membro da operação. Exemplos:
 
 
== Prova ==
Se de fato <math> \overline{X+Y+Z}=\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z},</math>, então:
 
Se de fato <math> \overline{X+Y+Z}=\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z}</math>, então:
 
# <math>(X+Y+Z)+(\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z}) = 1</math>
# <math>(X+Y+Z)\cdot(\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z}) = 0</math>
<math> = (Y + Z + 1)\cdot(X + Z + 1)\cdot(X + Y + 1)= 1\cdot1\cdot1 = 1</math>
 
primeiro usamos a propriedade distributiva do operador <math>+,</math>, depois a propriedade comutativo (passo não mostrado), então vemos a soma de elementos complementares <math>X + \overline{X} = 1.</math>.
 
 
b) <math> (X+Y+Z)\cdot(\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z}) = X\cdot\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z} + Y\cdot\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z} + Z\cdot\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z} = 0 + 0 + 0 = 0</math>
 
Primeiro usamos a propriedade distributiva do operador <math>\cdot,</math>, depois usamos a propriedade de comutatividade (esse passo não foi mostrado), então usamos a propriedade de elementos complementares <math>X\cdot\overline{X} = 0</math>
 
 
Os teoremas de DeMorgan são usados para provar que toda [[lógica booleana]] pode ser criada somente com [[Porta lógica|portas lógicas]] [[Lógica NAND|NAND]] ou [[NOR]].
 
{{esboço-matemática}}
{{referências}}
 
== {{Ligações externas}} ==
* [http://www.eletronica24h.com.br/Curso%20Digital/aparte1/DeMorgan/demorgan.htm O Teorema de De Morgan]
 
{{esboço-matemática}}
{{Portal3|Matemática}}
 
[[Categoria:Teoremas de matemática|De Morgan]]