Proporcionalidade: diferenças entre revisões
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E mantêm a propriedade de serem [[Inverso multiplicativo|inversas multiplicativas]] uma da outra.
== Propriedades ==
Algumas propriedades da proporcionalidade serão enunciadas e provadas abaixo:
=== Equivalente ===
A relação de proporcionalidade é [[Relação_binária#Reflexividade|reflexiva]], [[Comutatividade|comutativa]] (ou "[[Relação_binária#Simetria|simétrica]]") e [[Relação_binária#Transitividade|transitiva]], portanto, é uma [[relação de equivalência]].
==== Reflexiva ====
Toda função é proporcional a si mesma.
:<math>f \propto f</math>
Provada a partir da definição:
:<math>\forall x \in X .\quad \frac{f(x)}{f(x)} = 1</math>
Este é o único caso em que existe uma só constante real de proporcionalidade.
==== Comutativa (ou "Simétrica") ====
Não existe uma ordem exacta dos objetos, pois seja qual for a sua colocação a proporcionalidade não se altera.
:<math>f \propto g \iff g \propto f</math>
Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:
:<math>\forall x \in X .\quad k \in \left\{ \tfrac{f(x)}{g(x)}, \tfrac{g(x)}{f(x)} \right\} = \left\{ \tfrac{g(x)}{f(x)}, \tfrac{f(x)}{g(x)} \right\}</math>
==== Transitiva ====
A proporcionalidade é transitiva:
:<math>f \propto g \and g \propto h \iff f \propto h</math>
Portando a expressão acima pode ser simplificada em:
:<math>f \propto g \propto h</math>
Prova-se a partir da definição:
:<math>\begin{align}
\forall x \in X .\quad f(x) &= \alpha \cdot g(x) \\
\forall x \in X .\quad g(x) &= \beta \cdot h(x) \\
\therefore \forall x \in X .\quad f(x) &= \alpha\beta \cdot h(x) \\
\end{align}</math>
O produto entre constantes é constante.
== Mecanismos de resolução ==
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