Produto cartesiano: diferenças entre revisões
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Na [[Matemática]], dados dois [[conjunto]]s ''X'' e ''Y'', o '''produto cartesiano''' (ou ''produto direto'') dos dois conjuntos (escrito como ''X'' × ''Y'') é o conjunto de todos os [[Par ordenado|pares ordenados]] cujo primeiro elemento pertence a ''X'' e o segundo, a ''Y''.
:<math>X\times Y = \{(x,y) \mid x\in X\;\wedge\;y\in Y\}. </math>
O produto cartesiano recebe seu nome de [[René Descartes]], cuja formulação da [[geometria analítica]] deu origem a este conceito.
Por exemplo, se o conjunto X é o dos treze elementos do [[baralho|baralho inglês]]
: <math>X = \{\mathrm{A}, \mathrm{K}, \mathrm{Q}, \mathrm{J}, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2\} </math>
e o Y é o dos quatro naipes:
: ''Y'' = {♠, ♥, ♦, ♣}
então o produto cartesiano desses dois conjuntos será o conjunto com as 52 cartas do baralho:
: ''X'' × ''Y'' = {(A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣)}.
Outro exemplo é o plano bidimensional '''R''' × '''R''', onde '''R''' é o conjunto de [[número real|números reais]] e os pares ordenados têm a forma de (''x'',''y''), onde ''x'' e ''y'' são números reais (veja o [[sistema de coordenadas cartesiano]]). Subconjuntos do produto cartesiano são chamados de [[Relação (matemática)|relações binárias]], e [[função|funções]], um dos conceitos mais importantes da matemática, são definidas como tipos especiais de relações.
== Teoria dos Conjuntos ==
Na [[teoria dos conjuntos]], e, em especial, na sua formulação pelos [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]], a definição de
: <math>X \times Y = \{ (x, y) \ | \ x \in X \land y \in Y \}\,</math>
não é satisfatória. Devemos construir, usando os axiomas, um conjunto suficientemente grande para conter todos os [[par ordenado|pares ordenados]], e, depois, reduzir este conjunto ao produto escalar pelo [[axioma da separação]].
Como um [[par ordenado]] é definido por <math>(a, b) = \{ \{a\}, \{a,b\}\}\,</math>, temos que eles são conjuntos formados por subconjuntos da união dos conjuntos ''X'' e ''Y''. Ou seja, cada par ordenado é um [[subconjunto]] do [[conjunto das partes]] de <math>X \cup Y\,</math>. Portanto, o [[axioma da potência]] deve ser aplicado duas vezes sobre a [[união (matemática)|união]] de ''X'' e ''Y'', e sobre este conjunto aplica-se o [[axioma da separação]].
Explicitamente:
:<math>X \times Y = \{ p \in P(P(X \cup Y)) \ | \ p = \{ \{x\}, \{x,y\}\}, x \in X, y \in Y \}\,</math>
Deve-se mostrar que ''ninguém ficou de fora'', ou seja, que qualquer par ordenado pertence ao produto escalar. Para isso, suponha que <math>a \in X \land b \in Y\,</math>. Então, pela definição de união, <math>a \in X \cup Y \land b \in X \cup Y\,</math>. Pela definição do [[conjunto das partes]], <math>\{a\} \in P(X \cup Y) \land \{a,b\} \in P(X \cup Y)\,</math>. Finalmente, aplicando-se de novo a definição do [[conjunto das partes]], temos que <math>(a,b) = \{\{a\}, \{a,b\}\} \in P(P(X \cup Y))\,</math>.
== Cardinal ==
O [[número cardinal|cardinal]] do produto cartesiano de dois conjuntos é o [[multiplicação|produto]] dos cardinais dos conjuntos individuais:
: <math>|X \times Y| = |X| \cdot |Y|</math>
== Generalização ==
O produto cartesiano pode ser generalizado para mais de dois conjuntos:
:''X''<sub>1</sub> × ... × ''X<sub>n</sub>'' = { (''x''<sub>1</sub>,... ,''x<sub>n</sub>'') | ''x''<sub>1</sub> pertence a ''X''<sub>1</sub> e ... e ''x<sub>n</sub>'' pertence a ''X<sub>n</sub>'' }
ou intuitivamente (''X''<sub>1</sub> × ... × ''X<sub>n-1</sub>'') × ''X<sub>n</sub>''.
Um exemplo é o seguinte. Seja o conjunto L com três elementos:
: {1, 2, 3}
o conjunto M com dois elementos:
: {a,b},
e o conjunto N com 2 elementos:
: {$, %},
o produto cartesiano L × M × N é:
: {(1 ,a, $), (1 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (3 ,a ,$), (3 ,a ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%)}
Um outro exemplo disso é o [[espaço euclidiano]] de três dimensões <math>\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}</math>.
== Notação potencial ==
Para expressar o produto cartesiano dum conjunto por si mesmo está permitida a notação potencial:
<math>\begin{matrix}
& \underbrace{ X \times X \times \cdots \times X } & = X^n \\ & n \mathrm{vezes}
\end{matrix}
</math>
Assim, o mencionado espaço euclidiano tridimensional pode-se representar como <math>\mathbb{R}^3</math>.
== Produto infinito ==
A observação de que a estrutura do produto cartesiano <math>X^n\,</math> tem uma [[teoria das categorias|estrutura]] semelhante ao conjunto das funções de domínio {1, 2, ..., n} e imagem ''X'' sugere que o produto cartesiano possa ser generalizado para infinitas parcelas, como um conjunto de funções.
Seja <math>\Lambda\,</math> um conjunto (não-vazio), chamado de conjunto de índices. Seja <math>X_{\lambda}\,</math> um conjunto definido para cada índice <math>\lambda \in \Lambda\,</math> (eles podem ser iguais ou não). Então o '''produto''' destes conjuntos é definido por:
* <math>\prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} = \{ f : \Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \ , \ f(a) \in X_a \} \, </math>
=== Exemplo ===
Seja <math>\Lambda = \mathbb{N^\star}\,</math>, ou seja, estamos indexando pelos números naturais (sem o zero). Seja <math>X_i = \{ 1, 2, \ldots, i \} \,</math>. Então <math>\prod X_i\,</math> é o conjunto das sequências de números naturais em que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3, etc.
=== Axioma da Escolha ===
Um resultado paradoxal é que, usando os axiomas usuais da Teoria dos Conjuntos sem incluir o [[axioma da escolha]], não é possível mostrar que o produto de conjuntos não-vazios tem algum elemento.
== Projeção canônica ==
As funções mais importantes que tem como domínio um '''produto cartesiano''' são as projeções canônicas.
No caso finito, a ''i-ésima'' projeção canônica é a função que retorna a ''i-ésima'' coordenada.
Ou seja:
* <math>\pi_i(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) = x_i\,</math>
No caso infinito, como cada elemento de <math>\Pi_{\lambda} X_{\lambda}\,</math> é uma função, temos que:
* <math>\pi_{\lambda}(f) = f(\lambda)\,</math>
=== Exemplos ===
* Em <math>\mathbb{R}^2\,</math>, as duas projeções canônicas são:
:: <math>\pi_1(x, y) = x\,</math>
:: <math>\pi_2(x, y) = y\,</math>
* No conjunto das [[Seqüência matemática|seqüências]] de números reais, que pode ser visto como o produto <math>\Pi_{i \in \mathbb{N^{\star}}} \mathbb{R}\,</math>, a ''i-ésima'' projeção canônica é a função que retorna o ''i-ésimo'' elemento. Por exemplo:
:: <math>\pi_{10} (2, 4, 8, 16, \ldots) = 1024\,</math>
== Produtos de Estruturas Matemáticas ==
Várias estruturas matemáticas são mantidas, de uma forma natural (canônica) ao se passar para os produtos cartesianos. Por exemplo:
* o produto cartesiano de [[grupo (matemática)|grupos]] é um grupo.
* o produto cartesiano de [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] sobre o mesmo corpo é um espaço vetorial.
* o produto cartesiano de [[espaço topológico|topologias]] é uma topologia, a [[topologia produto]].
Todos estes conceitos podem ser unificados usando-se o [[produto categorial]], definido na [[Teoria das categorias]].
{{DEFAULTSORT:Produto Cartesiano}}
[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]
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