Vetor unitário: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
bot: revertidas edições de 177.9.119.244 ( modificação suspeita : -22), para a edição 34487753 de Legobot |
|||
Linha 23:
Outros sistemas de coordenadas, como [[coordenada polar]] ou [[coordenada esférica]] utiliza vetores unitários diferentes; suas notações variam.
==Versor na Física==
===Versor tangencial===
Em cada ponto de uma trajetória pode definir-se um {versor tangencial} <math>\vec{e}_\mathrm{t}</math>, na direção tangente à trajetória e no sentido do movimento. A figura abaixo mostra o versor tangencial em três pontos A, B e P de uma trajetória.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 22 jun. 2013.</ref>
[[File:Versor tangencial e.png|thumb|300px|right|Versor tangencial <math>\vec e_t</math> em três pontos da trajetória.]]
Observe-se que no ponto P existem dois versores tangenciais. O objeto chega a ponto P deslocando-se para a direita e um pouco para cima, direção essa que é definida pelo versor tangencial em azul na figura acima, ficando em repouso no ponto P; num instante posterior o objeto começa novamente a deslocar-se, agora em direção para a esquerda e para baixo, representada pelo vetor tangencial a verde na figura.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 22 jun. 2013.</ref>
Os únicos pontos da trajetória onde a direção tangente tem uma descontinuidade (dois vetores tangenciais no mesmo ponto), são os pontos em que a velocidade é nula. Nos pontos onde a velocidade não for nula, deverá existir sempre um único versor tangencial <math>\vec{e}_\mathrm{t}</math>, que apontará na direção e sentido da velocidade. Isto é, a velocidade pode ser escrita:
<math>\vec{v} = v\,\vec{e}_\mathrm{t}</math>
A velocidade <math>\vec{v}</math> é igual à derivada do vetor posição <math>\vec{r}</math>:
<math>\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\,\vec{r}}{\mathrm{d}\,t}</math>
O vetor posição <math>\vec{r}</math> não tem de ter nenhuma relação com o versor tangencial, já que <math>\vec{r}</math> depende do ponto que esteja a ser usado como origem do referencial (ver figura abaixo). No entanto, a equação acima garante que, independentemente da escolha do referencial, a derivada de <math>\vec{r}</math> será sempre o mesmo vetor (velocidade) na direção tangencial.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 22 jun. 2013.</ref>
Se <math>\Delta\,\vec{r}</math> for o vetor deslocamento durante um intervalo de tempo <math>\Delta\,t</math> (figura abaixo), a distância percorrida durante esse intervalo, <math>\Delta\,s</math>, é sempre maior ou igual que o módulo de <math>\Delta\,\vec{r}</math>. A distância percorrida é medida sobre a trajetória, enquanto que o módulo do deslocamento é medido no segmento de reta entre os pontos inicial e final.
O módulo de <math>\Delta\,\vec{r}</math> só seria igual a <math>\Delta\,s</math> se a trajetória fosse reta, com versor tangencial constante. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 22 jun. 2013.</ref>
No limite quando <math>\Delta\,t</math> for muito pequeno, os dois pontos estarão muito próximos na trajetória e; assim sendo, a direção de <math>\Delta\,\vec{r}</math> será aproximadamente a mesma direção do versor tangencial e o módulo de <math>\Delta\,\vec{r}</math> será aproximadamente igual a <math>\Delta\,s</math>. A derivada do vetor posição será então,
[[File:Deslocamento vetorial entre dois pontos nas posições.png|thumb|400px|center|Deslocamento vetorial entre dois pontos nas posições <math>\vec r</math> e <math>\vec r + \Delta r</math>]]
<math>\dfrac{\mathrm{d}\,\vec{r}}{\mathrm{d}\,t} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\frac{\Delta\,\vec{r}}{\Delta\,t} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\frac{\Delta\,s}{\Delta\,t}\;\vec{e}_\mathrm{t} = \dfrac{\mathrm{d}\,s}{\mathrm{d}\,t}\,\vec{e}_\mathrm{t}</math>
E, substituindo na equação <math>\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\,\vec{r}}{\mathrm{d}\,t}</math> , obtém-se:
<math>\vec{v} = \dot{s}\,\vec{e}_\mathrm{t}</math>
O valor da velocidade, em qualquer movimento, é sempre igual à derivada da distância percorrida, <math>s</math> , em ordem ao tempo, já que <math>\dot{s}</math> não é apenas uma componente da velocidade mas sim o valor da velocidade.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 22 jun. 2013.</ref>
===Versor normal===
A aceleração <math>\vec{a}</math> é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo e, como tal, obtém-se derivando o lado direito da equação, <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 22 jun. 2013.</ref>
<math>\vec{v} = \dot{s}\,\vec{e}_\mathrm{t}</math> ,temos :
<math>\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\,\vec{v}}{\mathrm{d}\,t} = \ddot{s}\;\vec{e}_\mathrm{t} + \dot{s}\,\dfrac{\mathrm{d}\,\vec{e}_\mathrm{t}}{\mathrm{d}\,t}</math>
[[File:Variação do versor tangencial.png|thumb|300px|right|Variação do versor tangencial]]
Observe-se que a derivada do vetor tangencial não é nula, porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes. A figura ao lado, mostra como calcular a derivada de <math>\vec{e}_\mathrm{t}</math>.
Deslocando os dois versores tangenciais dos pontos A e B da primeira figura para um ponto comum, o aumento de <math>\vec{e}_\mathrm{t}</math> no intervalo desde A até B é o vetor <math>\Delta\,\vec{e}_\mathrm{t}</math> que une os dois vetores.
Sendo o módulo de <math>\vec{e}_\mathrm{t}</math> igual a 1, os dois versores <math>\vec{e}_\mathrm{t}</math> na figura acima descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo <math>\Delta\,\theta</math>.
Se o ângulo for medido em radianos, o comprimento desse arco será igual a <math>\Delta\,\theta</math>.
Se o intervalo de tempo <math>\Delta\,t</math> for aproximadamente zero, os dois pontos considerados, A e B, estarão muito próximos na trajetória, o vetor <math>\Delta\,\vec{e}_\mathrm{t}</math> será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo <math>\Delta\,\theta</math>; conclui-se que a derivada de <math>\vec{e}_\mathrm{t}</math> é:
<math>\dfrac{\mathrm{d}\,\vec{e}_\mathrm{t}}{\mathrm{d}\,t} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\frac{\Delta\,\vec{e}_\mathrm{t}}{\Delta\,t} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\frac{\Delta\,\theta}{\Delta\,t}\;\vec{e}_\mathrm{n} = \dot{\theta}\,\vec{e}_\mathrm{n}</math>
Em que <math>\vec{e}_\mathrm{n}</math> é o {versor normal}, perpendicular à trajetória, e
<math>\dot{\theta}</math> representa o valor da {velocidade angular}.
Substituindo essa derivada na equação ...
<math>\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\,\vec{v}}{\mathrm{d}\,t} = \ddot{s}\;\vec{e}_\mathrm{t} + \dot{s}\,\dfrac{\mathrm{d}\,\vec{e}_\mathrm{t}}{\mathrm{d}\,t}</math>
, obtém-se a expressão para a aceleração:
<math>\ddot{s}\;\vec{e}_\mathrm{t} + \dot{s}\,\dot{\theta}\;\vec{e}_\mathrm{n}</math>
Concluindo, a aceleração tem uma componente tangencial à trajetória e uma componente normal (perpendicular) à trajetória.
A componente tangencial da aceleração tangencial, <math>a_\mathrm{t}=\ddot{s}</math>, é a aceleração segundo a trajetória.
A componente normal da {aceleração normal} é igual ao produto do valor da velocidade <math>\dot{s}</math> pelo valor da velocidade angular <math>\dot{\theta}</math>:
<math>a_\mathrm{n}=\dot{s}\,\dot{\theta}</math>
Tendo em conta que os versores <math>\vec{e}_\mathrm{t}</math> e <math>\vec{e}_\mathrm{n}</math> são perpendiculares em todos os pontos da trajetória, a equação acima implica que o valor da aceleração, <math>a</math> , será a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração; o [[teorema de Pitágoras]] para esse triângulo é então,
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" align="center" width=10%
|-
|<math>a^2 = a_\mathrm{t}^2 + a_\mathrm{n}^2</math>
|-
|}
[[File:Versores tangencial e normal em alguns pontos da trajetória..png|thumb|left|350px|Versores tangencial e normal em alguns pontos da trajetória]]
O ângulo de rotação do versor tangencial, <math>\Delta\,\theta</math>, é também igual ao ângulo de rotação do versor normal <math>\vec{e}_\mathrm{n}</math>.
A figura acima mostra os versores normais nos mesmos pontos A e B da trajetória na figura inicial da secção (versor).
Repare que no ponto A existem dois versores normais, com a mesma direção mas sentidos opostos, porque a trajetória curva-se para cima antes do ponto A, mas a partir do ponto A começa a curvar-se para baixo. Esse tipo de ponto, onde o sentido da curvatura muda, denomina-se {ponto de inflexão}.
No ponto P (figura acima) existem duas direções normais, porque, conforme referido na secção anterior, existem dois versores tangenciais. Em qualquer ponto o versor normal aponta no sentido em que a trajetória se curva, excepto no caso de uma trajetória retilínea, em que existem infinitos versores perpendiculares ao versor tangencial <math>\vec{e}_\mathrm{t}</math>.
[[File:Raio de curvatura..png|thumb|Raio de curvatura.]]
A figura ao lado mostra o versor normal no início e no fim do percurso entre os pontos A (instante <math>t_0</math>) e B (instante <math>t_0+\Delta\,t</math>) correspondente ao movimento da figura anterior.
As direções dos dois versores normais cruzam-se num ponto comum C. As distâncias desde C até os pontos A e B são diferentes (<math>R_\mathrm{A}</math> e <math>R_\mathrm{B}</math>), mas
serão iguais no limite <math>\Delta\,t\rightarrow 0</math>, em que o ponto C aproxima-se do centro de curvatura da curva.
A distância desde o centro de curvatura num instante e o ponto da trajetória, nesse mesmo instante, é o raio de curvatura, <math>R</math>, da trajetória.
Em cada ponto da trajetória existe um centro e um raio de curvatura. Cada percurso infinitesimal de comprimento <math>\mathrm{d}\,s</math> pode ser aproximado por um arco
de circunferência de raio <math>R</math> e ângulo <math>\mathrm{d}\,\theta</math>;
a distância percorrida é o comprimento desse arco :
<math>\mathrm{d}\,s=R\,\mathrm{d}\,\theta</math>
Assim sendo, conclui-se que o valor da velocidade angular é:
<math>
\dot{\theta} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\dfrac{\Delta\,\theta}{\Delta\,t} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\dfrac{\Delta\,s}{R\,\Delta\,t} = \dfrac{\dot{s}}{R}
</math>
Ou seja, em cada ponto da trajetória o valor da velocidade angular <math>\dot{\theta}</math> é igual ao valor da velocidade, <math>\dot{s}</math> , dividida pelo raio de curvatura <math>R</math> nesse ponto.
Usando este resultado, a componente normal da aceleração, <math>a_\mathrm{n}</math> , pode ser escrita do modo seguinte:
<math>
a_\mathrm{n} = \dfrac{v^2}{R}
</math>
O versor normal e a componente normal da aceleração, apontam sempre no sentido do centro de curvatura. Como tal, a componente normal da aceleração, <math>a_\mathrm{n}</math>, é chamada habitualmente{aceleração centrípeta}.
{{referências}}
{{DEFAULTSORT:Vetor Unitario}}
| |||