|
<math>y = \frac {e^{2x}}{4} + Ce^{-2x}</math>.
==Equação diferencial linear de ordem n==
Uma '''equação diferencial linear de ordem n''' é uma [[equação diferencial]] da forma
{|width="100%"
|align=left|<math>a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)</math>.
|align=right|(0.1)
|}
===Problema de condições iniciais===
Um problema do tipo
{|width="100%"
|align=left|Resolva:
|align=left|<math>a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)</math>
|
|-
|Sujeita a:
|<math>y(x_0) = y_o\,\!</math>, <math>y'(x_o) = y_0'\,\!</math>, ..., <math>y^{(n-1)}(x_o) = y_0^{(n-1)}\,\!</math>,
|align=right|(0.2)
|}
onde <math>y_0, y'_0, ..., y_0^{(n-1)}</math> são constantes arbitrárias, diz-se um '''problema de condições iniciais'''.
O teorema seguinte dá condições suficientes para a existência de uma solução única para (0.2).
====Teorema====
Sejam <math>a_n(x), a_{n-1}(x), ..., a_1(x), a_0(x)</math> e <math>g(x)</math> contínuas num intervalo <math>I</math> e seja <math>a_n(x) \ne 0</math> para todo o <math>x \in I</math>. Se <math>x = x_0</math> é um ponto de <math>I</math> então a solução <math>y(x)</math> do problema de valores iniciais (0.2) existe em <math>I</math> e é única.
====Exemplo====
Considere o problema de determinar a solução de
{|width="100%"
|<math>y'' = x</math>, sujeita às condições iniciais <math>y(0) = 0</math>, <math>y'(0) = 2</math>.
|align=right|(0.3)
|}
A equação diferencial <math>y'' = x</math> resolve-se facilmente integrando duas vezes:
<math>y' = \frac {x^2}{2} + C_1</math>,
e, portanto,
<math>y = \frac {x^3}{6} + C_1x + C_2</math>,
é a solução geral da equação diferencial. Como pretendemos <math>y(0) = 0</math> e <math>y'(0) = 2</math>, fica
<math>0 = \frac {0^3}{6} + C_1 \cdot 0 + C_2</math> e <math>2 = \frac {0^2}{2} + C_1</math>,
ou seja,
<math>C_1 = 2</math> e <math>C_2 = 0</math>.
Logo a solução do problema é
<math>y = \frac {x^3}{6} + 2x</math>.
==Equação linear de ordem 2 e superior==
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