Diferenças entre edições de "Número cardinal"

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A noção de cardinalidade, como é compreendida hoje em dia, foi formulada por [[Georg Cantor]], o criador da [[teoria dos conjuntos]], em 1874-1884.<ref>{{citar web |url=http://educacao.uol.com.br/biografias/georg-cantor.jhtm |título=Georg Cantor - Biografia |acessodata=19 de julho de 2013 |autor= |coautores= |data= |ano= |mes= |formato= |obra=Enciclopédia Mirador Internacional e Georg Cantor y la teoría de conjuntos transfinitos |publicado=UOL - Educação |páginas= |língua= |língua2=pt |língua3= |lang= |citação= }}</ref> Cantor foi o primeiro a estabelecer a cardinalidade como um instrumento para comparar conjuntos finitos; por exemplo, os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4} não são iguais, mas têm a mesma cardinalidade: três.
 
Cantor identificou o fato que a [[Função bijectiva|correspondência um-para-um]] é a maneira de dizer que dois conjuntos têm o mesmo tamanho, chamado "cardinalidade", no caso de conjuntos finitos. Usando esta correspondência de um-para-um, ele aplicou o conceito de conjuntos infinitos, por exemplo, o conjunto de números naturais <math>\mathbb{N}</math> = {0, 1, 2, 3, ...}. Ele chamou esses números cardinais de [[Número transfinito|números cardinais transfinitos]], e definiu que todos os conjuntos que tenham uma correspondência com <math>\mathbb{N}</math> são [[Conjunto contável|conjuntos enumeráveis]] (contável infinito).<ref name="Dauben 1990">{{Citar livro |sobrenome=Dauben |nome=Joseph Warren |título=Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite |subtítulo= |idioma=inglês |edição= |local=Princeton |editora=Princeton University Press |ano=1990 |páginas= |volumes= |isbn=0691-02447-2 }}</ref>
 
Nomeando este número cardinal <math>\aleph_0,</math> [[Aleph (matemática)|aleph-null]], Cantor provou que qualquer subconjunto ilimitado de <math>\mathbb{N}</math> tem a mesma cardinalidade que <math>\mathbb{N},</math> mesmo que à primeira vista isso possa parecer funcionar, são contrários à intuição. Ele também mostrou que o conjunto de todos os [[pares ordenados]] de números naturais é enumerável (o que implica que o conjunto de todos os [[números racionais]] é enumerável), e mais tarde mostrou que o conjunto de todos os [[números algébricos]] é também enumerável. Cada número algébrico ''z'' podem ser codificados como uma sequência finita de números inteiros cujos coeficientes na equação polinomial de que é a solução, ou seja, a n-tupla ordenada <math>(a_0, a_1, ..., a_n),\; a_i \in \mathbb{Z},</math> juntamente com um par de racionais <math>(b_0, b_1)</math> tais que ''z'' é a única raiz do polinômio com coeficientes <math>(a_0, a_1, ..., a_n)</math> que se situa no intervalo <math>(b_0, b_1).</math>
Em seu artigo de 1874, Cantor provou que existem números cardeais de ordem superior, mostrando que o conjunto dos números reais tem cardinalidade maior que a de N. Sua apresentação original usou um argumento complexo, com [intervalos aninhados], mas em um artigo de 1891, ele provou a mesmo resultado usando um argumento engenhoso, mas simples diagonal. Este novo número cardinal, chamado a [[cardinalidade do contínuo]], foi denominado <math>\mathfrak{c}</math> por Cantor.
 
Cantor também desenvolveu uma grande parte da teoria geral dos números cardinais, ele provou que há um número cardinal transfinito menor (<math>\aleph_0,</math> aleph-null) e que para todo número cardinal,<ref name="Dauben 1990"/> há um próximo cardinal maior <math>(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots).</math>
 
Sua hipótese do contínuo é a proposição que <math>\mathfrak{c}</math> é a mesma que <math>\aleph_1,</math> mas este foi encontrado para ser independente dos axiomas padrão da teoria dos conjuntos da matemática, ele nem pode ser provado nem refutado sob os padrões pressupostos.
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