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Série de potências: diferenças entre revisões

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Linha 1:
{{mais-notas|data=Abril de 2012}}
Em [[matemática]], uma '''série de potências''' (de uma variável) é uma [[série infinita]] da forma
 
Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro <math>x</math>, da
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math>
seguinte forma:
onde ''a<sub>n</sub>'' representa o coeficiente do n-ésimo [[Termo (Matemática)|termo]], ''c'' é uma constante, e ''x'' varia em torno de ''c'' (por esta razão, algumas vezes a série é dita ''centrada'' em ''c''). Esta série geralmente surge como uma [[série de Taylor]] de uma [[função (matemática)|função]].
 
<math>
Em muitas situações, ''c'' é igual a zero, que em uma série de Taylor é um caso particular denominado [[série de Maclaurin]]. Nesses casos, a série de potências toma a seguinte forma simplificada
S(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n
::<math>
</math>
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.
 
o número <math>x_{0}</math>, a sequência <math>a_{n}</math> e o parâmetro <math>x</math> podem ser em geral números complexos. <ref name=Villate>[''Equações Diferenciais e Equações de Diferenças''. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.</ref>
 
A convergência da série de potências depende da distância
entre <math>x</math> e <math>x_{0}</math> no plano complexo:
 
<math>
|x - x_0|
</math>
 
Linha 21 ⟶ 27:
Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para [[seno]], [[cosseno]], [[tangente]], [[arco seno]], [[arco cosseno]], [[arco tangente]] e a função <math>\ln(1 + x)\,</math>.<ref name="uwa.au" />
 
== ExemplosSérie de taylor ==
Uma função analítica num ponto <math>x_{0}</math> é uma função cujas {d \over d}adas de
Qualquer [[polinômio]] pode ser facilmente expresso como uma série de potência em torno de um centro ''c'', embora um ou mais coeficientes sejam iguais a zero. Por exemplo, o polinômio <math>f(x) = x^2 + 2x + 3</math> pode ser escrito como a série de potência em torno de <math>c=0</math> como
qualquer ordem existem nesse ponto.<ref name=Villate>[''Equações Diferenciais e Equações de Diferenças''. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.</ref> Nesse caso a função pode ser representada
::<math>f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,</math>
oupor emuma tornosérie dode centropotências convergente em <math>c=1x_{0}</math> como:
::<math>f(x) = 3 + 2 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,</math>
ou mesmo em torno de qualquer outro centro ''c''.
 
<math>
Uma [[série geométrica]]
::<math> \frac{1}{1- f(x}) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n = 1a_0 + x +a_1 (x^2 +- x^3 + \cdots,</math>x_0)
+ a_2 (x -x_0)^2 + \cdots
que é válida para <math>|x|<1</math>, é um dos exemplos mais importantes de séries de potência, assim como a fórmula da função exponencial
</math>
::<math> e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,</math>
e a fórmula do seno
::<math> \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,</math>
válida para todo real x.
 
as derivadas de <math>f</math> calculam-se derivando o termo dentro da série, por
Essas séries de potências são também exemplos de [[série de Taylor|séries de Taylor]]. Entretanto, existem séries de potências que não são séries de Taylor de uma função qualquer, tal como
exemplo, as duas primeiras derivadas são:
::<math>\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.</math>
 
<math>
Potências negativas não são permitidas em uma série de potências, por exemplo <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math>
\begin{align}
não é considerada uma série de potência (embora seja uma [[série de Laurent]]). Similarmente, potências fracionais, tais como <math>x^{1/2}</math>, não são consideradas séries de potências (veja [[série de Puiseux]]).
&f'(x) = \sum_{n=0}^\infty n a_n (x - x_0)^{n-1} = a_1 + 2 a_2 (x - x_0)
+ 3 a_3 (x -x_0)^2 + \cdots\\
&f''(x) = \sum_{n=0}^\infty n(n - 1) a_n (x - x_0)^{n-2} = 2 a_2
+ 6 a_3 (x - x_0) + 12 a_4 (x -x_0)^2 + \cdots
\end{align}
</math>
 
Se substituirmos <math>x = x_{0}</math> nas séries para <math>f</math>, <math>f'</math> e <math>f''</math> vemos que:
== Raio de convergência ==
Uma série de potência irá convergir para alguns valores conforme os valores tomados da variável ''x'', e pode divergir para outros. Sempre há um número ''r'' com 0 ≤ ''r'' ≤ ∞ tal que a série converge quando |''x'' − ''c''| <''r'' e diverge para |''x'' − ''c''| > ''r''. O número ''r'' é chamado de '''[[raio de convergência]]''' da série de potências; em geral ele é dada como
 
<math>
:<math>r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}</math>
a_0 = f(x_0) \qquad a_1 = f'(x_0) \qquad 2 a_2 = f''(x_0)
ou, equivalentemente,
</math>
 
em geral,
<math>r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}</math>
 
<math>
Um método mais rápido de calcular o raio de convergência é
n! a_n = f^{(n)}(x_0)
</math>
 
e a série de Taylor de <math>f</math> escreve-se:
:<math>r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|</math>
 
<math>
se o limite existe.
f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n
</math>
 
No caso particular <math>x_{0} = 0</math> obtém-se a chamada '''série de McClaurin'''.
A série [[convergência absoluta|converge absolutamente]] para |''x'' - ''c''| < ''r'' e [[convergência uniforme|converge uniformemente]] em todo [[subconjunto]] [[compacto]] de {''x'' : |''x'' − ''c''| < ''r''}.
Onde o raio de convergência da série é igual à distância entre <math>x_{0}</math> e
o ponto singular de <math>f</math> mais próximo.<ref name=Villate>[''Equações Diferenciais e Equações de Diferenças''. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.</ref>
== Algumas séries de McClaurin importantes ==
* Série geométrica
 
<math>
Para |''x'' - ''c''| = ''r'', não se pode fazer nenhuma afirmativa geral sobre a convergência da série.
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots
</math>
 
* Função exponencial
 
<math>
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
</math>
 
* Funções trigonométricas
 
<math>
\begin{align}
&\sin\ x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} x^{2n+1}\\
&\cos\ x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}
\end{align}
</math>
== Método das séries ==
Consideremos a [[equação diferencial linear]], homogênea de segunda ordem
 
<math>
P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0
</math>
 
em que <math>P</math>, <math>Q</math> e <math>R</math> são polinômios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equações dessa forma.<ref name=Villate>[''Equações Diferenciais e Equações de Diferenças''. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.</ref>
 
A partir do teorema de existência e unicidade para
equações lineares, vemos que os pontos singulares são as raízes do polinômio
<math>P(x)</math>. Se o ponto <math>x = 0</math> não for raiz de <math>P(x)</math>, a solução da equação diferencial será uma função analítica em <math>x = 0</math> e, portanto, existirá a série de McClaurin para a solução <math>y(x)</math>:
 
<math>
y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
</math>
 
A obtenção da solução é equivalente à obtenção da sequência <math>a_{n}</math>. A equação
de diferenças que define a sequência <math>a_{n}</math> é obtida por substituição da
série de McClaurin (e das suas derivadas) na equação diferencial.<ref name=Villate>[''Equações Diferenciais e Equações de Diferenças''. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.</ref>
===Equação de Airy===
Um exemplo de uma equação linear muito simples que não pode ser resolvida
pelos métodos convencionais das [[equações diferenciais]] e que pode ser resolvida pelo método
das séries, é a [[equação de Airy]]:
 
<math>
y'' = xy
</math>
 
O [[polinômio]] <math>P</math> é neste caso igual a 1, de maneira que a solução será
analítica em <math>x = 0</math> e poderá ser escrita como uma série de McClaurin:
 
<math>
y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
</math>
 
A segunda derivada é:
 
<math>
y''(x) = \sum_{n=0}^\infty n(n - 1) a_n x^{n-2}
</math>
 
e substituindo na equação diferencial
 
<math>
\sum_{n=0}^\infty n(n - 1) a_n x^{n-2} - \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+1} = 0
</math>
 
para agrupar as duas séries numa única série de potências,
escrevemos a primeira série numa forma equivalente: podemos incrementar
em 3 unidades o índice <math>n</math>, dentro da série, se subtrairmos 3 aos
limites do somatório; a série resultante será idêntica à
série inicial
 
<math>
\sum_{n=-3}^\infty (n + 3)(n + 2) a_{n+3} x^{n+1} - \sum_{n=0}^\infty
a_n x^{n+1} = 0
</math>
 
Na primeira série os dois primeiros termos (<math>n=-3<math> e <math>n=-2</math>) são nulos e o
terceiro termo (<math>n=-1</math>) pode ser escrito explicitamente; a série resultante
começa desde <math>n = 0</math>, podendo ser agrupada à segunda série:
 
<math>
2 a_2 + \sum_{n=-3}^\infty [(n + 3)(n + 2) a_{n+3} - a_n] x^{n+1} = 0
</math>
 
no lado esquerdo da equação temos uma série de potências em que o coeficiente
de ordem zero é <math>2 a_{2}</math> e os coeficientes de ordem superior a zero são o
termo dentro dos parêntesis quadrados, com <math>n = 0,1,2,\dots</math> Para que a série
de potências seja nula em qualquer ponto <math>x</math>, é necessário que todos os
coeficientes sejam nulos:
 
<math>
2 a_2 = 0
</math>
 
<math>
\color{Blue}{(n + 3)(n + 2) a_{n+3} - a_n = 0 \qquad (n = 0, 1, 2,\ldots)}
</math>
 
Temos transformado o problema num problema de equações de diferenças.
 
A equação de diferenças obtida é uma equação incompleta, de
terceira ordem e a sua solução consiste em três sucessões
independentes para os coeficientes de ordem múltiplo de 3, múltiplo de
3 mais 1, e múltiplo de 3 mais 2.
 
Como <math>a_{2} = 0</math>, os coeficientes de
ordem múltiplo de 3 mais 2 são todos nulos. Para obter as outras duas
sequências podemos usar o método estudado no capítulo anterior: para
<math>n = 3m</math>, definindo <math>u_m = a_{3m}</math> obtemos:
 
<math>
\color{Red}{9(m + 1)(m + 2/3) u_{m+1} - u_m = 0}
</math>
 
em termos de fatoriais e funções gama temos:
 
<math>
(m + 1)(m + 2/3) =\frac{(m + 1)! \Gamma(m + 5/3)}{m! \Gamma(m + 2/3)}
</math>
 
Usando a substituição:
 
<math>
x_m = m! \Gamma(m + 2/3) u_m
</math>
 
a <font color="red">Equação</font> transforma-se numa equação de coeficientes constantes:
 
<math>
9 x_{m+1} - x_m = 0
</math>
 
A solução pode agora ser obtida facilmente:
 
<math>
\begin{align}
&x_m &=& \frac{x_0}{(-9)^m}\\
&a_{3m} &=& u_m = \frac{(-1)^{m} \Gamma(2/3)}{m!\Gamma(m + 2/3) 9^m} a_0
\end{align}
</math>
 
Para calcular a sequência correspondente a <math>n = 3m + 1</math>, procedemos em forma
semelhante. Em função de <math>v_m = a_{3m + 1}</math>, a fórmula de recorrência
(<font color="blue">Equação</font>) é uma equação de primeira ordem:
 
<math>
9(m + 1)(m + 4/3) v_{m+1} - v_m = 0
</math>
 
e com a substituição
 
<math>
z_m = m! \Gamma(m + 4/3) v_m
</math>
 
a equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:
 
<math>
9 z_{m+1} - z_m = 0
</math>
 
com solução:
 
<math>
\begin{align}
& z_m &=& \frac{z_0}{(-9)^m} \\
& a_{3m+1} &=& v_m = \frac{(-1)^m \Gamma(4/3) a_1}{m!\Gamma(m + 4/3) 9^m}
\end{align}
</math>
 
Finalmente, substituimos <math>a_{n}</math> na série de McClaurin para
obter a solução da equação diferencial:
 
<math>
y(x) = a_0 \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m\Gamma(2/3)}{m!\Gamma(m + 2/3) 9^m} x^{3m}
+ a_1 x \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m\Gamma(4/3)}{m!\Gamma(m + 4/3) 9^m} x^{3m}
</math>
 
onde <math>a_{0}</math> e <math>a_{1}</math> são duas constantes arbitrárias (condições iniciais
para <math>y</math> e <math>y'</math> em <math>x = 0</math>). Em alguns casos as séries obtidas podem ser identificadas como a série de McClaurin de alguma função conhecida.
 
Neste
exemplo as séries não correspondem a nenhuma função conhecida, e constituem
duas funções especiais designadas '''funções de Airy'''.
== Raio de convergência ==
Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge
(<math>a_{0}</math> é o valor da série quando <math>x = x_{0}</math>); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a
série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o
chamado '''raio de convergência''' (<math>R</math>) e calcula-se a partir de:
 
<math>
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1} R^{n+1}}{a_n R^n} = 1
\quad\Rightarrow\quad R = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}
</math>
 
{{referências}}
Linha 64 ⟶ 273:
== {{Ligações externas}} ==
* {{Link||2=http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexPowerSeriesMod.html |3=Complex Power Series Module by John H. Mathews}}
* {{Link|pt|2=http://people.ufpr.br/~jcvb/online/eqdiferenciais.pdf|3=Equações Diferenciais e Equações de Diferenças,Jaime.E.Villate}}
 
{{DEFAULTSORT:Serie Potencias}}
Obtida de "https://pt.wikipedia.org/wiki/Série_de_potências"