Produto cartesiano: diferenças entre revisões

Outro exemplo é o plano bidimensional '''R''' × '''R''', onde '''R''' é o conjunto de [[número real|números reais]] e os pares ordenados têm a forma de (''x'',''y''), onde ''x'' e ''y'' são números reais (veja o [[sistema de coordenadas cartesiano]]). Subconjuntos do produto cartesiano são chamados de [[Relação (matemática)|relações binárias]], e [[função (matemática)|funções]], um dos conceitos mais importantes da matemática, são definidas como tipos especiais de relações.

: <math>X \times Y = \{ (x, y) \ | \ x \in X \land y \in Y \}\,</math>

Como um [[par ordenado]] é definido por <math>(a, b) = \{ \{a\}, \{a,b\}\}\,</math>, temos que eles são conjuntos formados por subconjuntos da união dos conjuntos ''X'' e ''Y''. Ou seja, cada par ordenado é um [[subconjunto]] do [[conjunto das partes]] de <math>X \cup Y\,</math>. Portanto, o [[axioma da potência]] deve ser aplicado duas vezes sobre a [[união (matemática)|união]] de ''X'' e ''Y'', e sobre este conjunto aplica-se o [[axioma da separação]].

:<math>X \times Y = \{ p \in P(P(X \cup Y)) \ | \ p = \{ \{x\}, \{x,y\}\}, x \in X, y \in Y \}\,</math>

Deve-se mostrar que ''ninguém ficou de fora'', ou seja, que qualquer par ordenado pertence ao produto escalar. Para isso, suponha que <math>a \in X \land b \in Y\,</math>. Então, pela definição de união, <math>a \in X \cup Y \land b \in X \cup Y\,</math>. Pela definição do [[conjunto das partes]], <math>\{a\} \in P(X \cup Y) \land \{a,b\} \in P(X \cup Y)\,</math>. Finalmente, aplicando-se de novo a definição do [[conjunto das partes]], temos que <math>(a,b) = \{\{a\}, \{a,b\}\} \in P(P(X \cup Y))\,</math>.

A observação de que a estrutura do produto cartesiano <math>X^n\,</math> tem uma [[teoria das categorias|estrutura]] semelhante ao conjunto das funções de domínio {1, 2, ..., n} e imagem ''X'' sugere que o produto cartesiano possa ser generalizado para infinitas parcelas, como um conjunto de funções.

Seja <math>\Lambda\,</math> um conjunto (não-vazio), chamado de conjunto de índices. Seja <math>X_{\lambda}\,</math> um conjunto definido para cada índice <math>\lambda \in \Lambda\,</math> (eles podem ser iguais ou não). Então o '''produto''' destes conjuntos é definido por:

* <math>\prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} = \{ f : \Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \ , \ f(a) \in X_a \} \, </math>

Seja <math>\Lambda = \mathbb{N^\star}\,</math>, ou seja, estamos indexando pelos números naturais (sem o zero). Seja <math>X_i = \{ 1, 2, \ldots, i \} \,</math>. Então <math>\prod X_i\,</math> é o conjunto das sequências de números naturais em que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3, etc.

* <math>\pi_i(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) = x_i\,</math>

No caso infinito, como cada elemento de <math>\Pi_{\lambda} X_{\lambda}\,</math> é uma função, temos que:

* <math>\pi_{\lambda}(f) = f(\lambda)\,</math>

* Em <math>\mathbb{R}^2\,</math>, as duas projeções canônicas são:

:: <math>\pi_1(x, y) = x\,</math>

:: <math>\pi_2(x, y) = y\,</math>

* No conjunto das [[Seqüência matemática|seqüências]] de números reais, que pode ser visto como o produto <math>\Pi_{i \in \mathbb{N^{\star}}} \mathbb{R}\,</math>, a ''i-ésima'' projeção canônica é a função que retorna o ''i-ésimo'' elemento. Por exemplo:

:: <math>\pi_{10} (2, 4, 8, 16, \ldots) = 1024\,</math>