Sistema dinâmico: diferenças entre revisões
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Na [[física matemática]] e na [[matemática]], o conceito de '''sistema dinâmico''' nasce da exigência de construir um modelo geral de todos os [[sistema]]s que evoluem segundo uma regra que liga o estado presente aos estados passados.
==História==
Os primórdios da teoria dos sistemas dinâmicos podem ser identificados já no século XVI, nos trabalhos de mecânica celeste escritos por [[Kepler|Johannes Kepler]]. As contribuições de [[Newton|Isaac Newton]] à modelagem matemática através da formalização da mecânica clássica abriram espaço para uma sofisticação crescente do aparato matemático que modela fenômenos mecânicos, culminando nos trabalhos de Lagrange e Hamilton, que definiram a teoria da mecânica clássica num contexto matemático, que essencialmente é o mesmo estudado até hoje.
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Entre as ferramentas mais utilizadas na teoria dos sistemas dinâmicos estão a geometria diferencial, a teoria da medida e a geometria simplética.
==Definição==
Dizemos que um sistema dinâmico é um par <math>\scriptstyle (X,A)</math>, onde <math>\scriptstyle A:X \times G \rightarrow X </math> é uma aplicação contínua que satisfaz:
* '''<math>\scriptstyle A\left(x,e\right) = x</math>''', onde <math>\scriptstyle x \in X</math> e ''<math>\scriptstyle e</math>'' é o elemento neutro do grupo.
===Subáreas===
Os seguintes campos de estudos são, atualmente, considerados como subáreas da teoria dos sistemas dinâmicos, e são inspirados de muitas maneiras por problemas da [[física]], [[computação]], [[economia]] e [[biologia]]:
* Teoria ergódica;
* [[Dinâmica unidimensional]];
* [[Hiperbolicidade parcial|Dinâmica parcialmente hiperbólica]];
* [[Dinâmica simbólica]];
* [[Sistemas hamiltonianos]].
==Terminologia e notação==
Geralmente, escrevemos '''<math>\scriptstyle g.x </math>''' para representar o elemento '''<math>\scriptstyle A\left(x,g\right)</math>''' de '''<math>\scriptstyle X</math>'''.
No caso em que <math>\scriptstyle G = \mathbb{R} </math>, dizemos que <math>\scriptstyle (X,A) </math> é um sistema dinâmico contínuo. No caso em que <math>\scriptstyle G = \mathbb{N}</math> ou <math>\scriptstyle \mathbb{Z}</math>, dizemos que <math>\scriptstyle (X,A)</math> é um sistema dinâmico discreto.
Quando '''<math>\scriptstyle G</math>''' não é um grupo, dizemos que '''<math>\scriptstyle \left(X,A\right)</math>''' é um sistema semidinâmico.
Geralmente, os sistemas dinâmicos discretos são definidos da seguinte maneira: se <math>\scriptstyle f:X \rightarrow X </math> é um homeomorfismo de um espaço topológico nele mesmo, definimos <math>\scriptstyle A \left(x,k\right) = f^{k}(x) </math>, onde <math>\scriptstyle x \in X</math>, e <math>\scriptstyle k \in \mathbb{Z}</math>. Os sistemas dinâmicos definidos desta forma são os objetos de estudo da dinâmica topológica.
Já os sistemas dinâmicos contínuos são, quase sempre, definidos quando '''<math>\scriptstyle X </math>''' é uma [[variedade]] suave, e '''<math>\scriptstyle A </math>''' é um fluxo definido a partir de um [[campo vetorial]] diferenciável sobre '''<math>\scriptstyle M </math>'''.
Seguindo a notação das definições anteriores, dizemos que:
* <math> X </math> é o espaço de fase do sistema dinâmico.
* <math>\{G.x\}=\{g.x \mid g \in G\}</math> é chamada de órbita de um <math> x \in X</math>.
==Exemplos de comportamentos dinâmicos==
* O tipo mais simples de comportamento dinâmico de uma órbita é a de um ponto fixo. Por definição, um ponto <math>\scriptstyle x </math> é ponto fixo caso sua órbita se reduza a somente um ponto.
Por exemplo, considerando o sistema dinâmico discreto sobre a reta real <math>\scriptstyle \mathbb{R} </math> definido pelas iterações da aplicação <math>\scriptstyle x \mapsto -x </math>, temos que o ponto 0 é um ponto fixo.
Isto significa que existe um elemento do grupo <math>\scriptstyle g \in G </math> tal que <math>\scriptstyle A\left(x,g\right) = x </math>.
Ou seja, existe <math>\scriptstyle n \in \mathbb{N}</math> maior que um, e <math>\scriptstyle x \in X</math> tais que <math>\scriptstyle A\left(x,n\right) = x </math>, devemos ter, necessariamente, que a órbita de <math>\scriptstyle x </math> é o conjunto <math>\scriptstyle \left \{x,A\left(x,1\right),\dots,A\left(x,n-1\right)\right \}</math>.
No caso de um sistema dinâmico contínuo, é possível mostrar que uma órbita periódica é [[homeomorfismo|homeomorfa]] a um [[círculo]].
* Os exemplos acima estão incluídos numa classe de subconjuntos chamados de subconjuntos invariantes pela dinâmica. Dizemos <math>\scriptstyle S \subset X </math> é invariante caso a órbita de um ponto <math>\scriptstyle x \in S </math> está contida em <math>\scriptstyle S </math>.
São de especial interesse os conjuntos invariantes compactos e minimais com esta propriedade. Dizemos que <math>\scriptstyle S </math> é minimal caso seja invariante, compacto, e não contenha nenhum subconjunto próprio invariante.
Em particular, temos que todo elemento <math>\scriptstyle x </math> de um conjunto minimal <math>\scriptstyle S </math> possui órbita densa em <math>\scriptstyle S </math>, já que caso contrário, teríamos que o fecho da órbita de <math>\scriptstyle x </math> é um subconjunto invariante e compacto contido em <math>\scriptstyle S </math>.
A seguir, consideramos um sistema dinâmico discreto definido por um homeomorfismo <math>\scriptstyle f:X \rightarrow X </math>:
* Dizemos que um conjunto compacto <math>\scriptstyle \Lambda \subset X </math> é um atrator caso exista uma vizinhança <math>\scriptstyle U </math> de <math>\scriptstyle \Lambda</math> tal que <math>\scriptstyle f(U) \subset U</math> e <math>\scriptstyle \Lambda=\bigcap_{k \geq 0}f^k(U)</math>.
* Um [[Atractor|atractor estranho]] é um atractor que possui dimensão de Hausdorff superior à sua dimensão topológica. Exemplos de atractores estranhos são os atratores de Henon e diversos tipos de ferradura de Smale.
==Sistemas Dinâmicos na Física Clássica==
=== [[Equações diferenciais]] ===
As [[Cinemática#Equa.C3.A7.C3.B5es_cinem.C3.A1ticas|equações cinemáticas]] são um exemplo de equações diferenciais. As equações diferenciais aparecem em muitas outras áreas da ciência e da engenharia; uma forma de estudar esse tipo de equações consiste em usar uma analogia com os sistemas estudados na [[mecânica clássica|mecânica]].<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
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a posição e a velocidade num único vetor, num espaço com seis dimensões.
===Variáveis de estado e espaço de fase===
[[File:O estado de uma partícula em qualquer instante é definido pelo vetor de posição e pela velocidade.png|thumb|right|300px|O estado de uma partícula em qualquer instante é definido pelo vetor de posição e pela velocidade]]
Um sistema dinâmico é caraterizado pelas forças que atuam sobre ele. Para estudar um sistema determinado, admite-se que as forças são bem conhecidas. Uma vez estabelecidas as forças, o tipo de movimento que terá o sistema dependerá das condições iniciais; isto é, conhecidas a posição e a velocidade de um corpo num instante inicial, consegue-se prever quais serão a posição e velocidade em qualquer instante posterior.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
Os vetores posição, <math>\scriptstyle \vec{r}</math>, e velocidade, <math>\scriptstyle \vec{v}</math>, de uma partícula definem o seu estado em cada instante. Esses dois vetores terão um valor único a cada instante <math>\scriptstyle t</math>.
As três componentes da posição, junto com as três componentes da velocidade constituem um espaço a seis dimensões chamado '''espaço de fase'''.
Quando se considera a projeção do movimento ao longo de um único eixo, é mais fácil visualizar o espaço de fase, por ser um plano. Nesse caso, a posição da partícula pode ser definida por uma coordenada <math>\scriptstyle x</math>. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
O espaço de fase é constituído por <math>\scriptstyle x</math> e a componente da velocidade, <math>\scriptstyle v_x</math>. A figura abaixo mostra o espaço de fase, com a posição <math>\scriptstyle x</math> no eixo das abcissas e a componente da velocidade <math>\scriptstyle v_x</math> no eixo das ordenadas.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
A cada instante, o estado da partícula pode ser qualquer ponto do plano de fase. Se num instante inicial a partícula se encontra na posição <math>\scriptstyle x_0</math>, com componente da velocidade <math>\scriptstyle v_{x,0}</math>, o estado nos instantes seguintes são os pontos de uma curva contínua a partir do ponto (<math>\scriptstyle x_0</math>,<math>\scriptstyle v_{x,0}</math>).
[[File:Espaço de fase da projeção do movimento de uma partícula segundo o eixo x.png|thumb|right|300px|Espaço de fase da projeção do movimento de uma partícula segundo o eixo <math>\scriptstyle x</math>]]
A evolução do sistema em função do tempo é dada por uma curva contínua no espaço de fase; a curva não pode ter nenhuma descontinuidade porque a posição e a velocidade não podem mudar abruptamente de um valor para outro diferente, sem ter passado antes por todos os valores intermédios. Por cada ponto do espaço de fase passa uma única '''curva de evolução do sistema'''.
===Campo de direções===
Na figura
O deslocamento na direção do eixo dos <math>\scriptstyle x</math>, por unidade de tempo, é igual à derivada <math>\scriptstyle \dot{x}</math> (a própria componente <math>\scriptstyle v_x</math> da velocidade) e o deslocamento na direção do eixo <math>\scriptstyle v_x</math>, por unidade de tempo, é igual á derivada <math>\scriptstyle \dot{v_x}</math> (componente <math>\scriptstyle a_x</math> da aceleração).
Assim sendo, o estado da partícula desloca-se, no espaço de fase, com velocidade,
<math>
\vec{u} = v_x\,\vec{e}_x + a_x\,\vec{e}_{v_x}
</math>
esse vetor chama-se '''velocidade de fase'''. Em cada ponto do espaço de fase, a velocidade de fase é um vetor tangente à curva de evolução que passa por esse ponto.
A figura mostra as componentes da velocidade de fase em vários pontos do espaço de fase. Esse tipo de desenho designa-se de '''campo de direções'''.
A figura mostra também uma das curvas de evolução do sistema no espaço de fase. O movimento correspondente a essa curva de evolução é o seguinte: O estado inicial O da curva mostra que a partícula partiu desde uma a posição inicial <math>\scriptstyle x_0 >0</math> e com velocidade <math>\scriptstyle v_x</math> negativa; o vetor velocidade de fase nesse instante mostra novamente que a velocidade é negativa (<math>\scriptstyle \vec{u}</math> para a esquerda) mas a aceleração <math>\scriptstyle a_x</math> é positiva (<math>\scriptstyle \vec{u}</math> para cima); isso implica que a partícula está a abrandar.
O estado P corresponde ao instante em que a partícula passa pela origem (<math>\scriptstyle x=0</math>) com velocidade ainda negativa.
A direção de <math>\scriptstyle \vec{u}</math> nesse instante, no sentido negativo do eixo dos <math>\scriptstyle x</math>, indica que a aceleração é nula, mas como a velocidade é negativa continua a deslocar-se para valores negativos de <math>\scriptstyle x</math>. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
No instante em que o estado é Q, a partícula fica em repouso num ponto <math>\scriptstyle x_1<0</math>; a velocidade de fase nesse ponto é necessariamente paralela ao eixo das ordenadas, porque a velocidade é nula e o sentido para cima indica que a aceleração é positiva e a velocidade está a aumentar. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
No instante em que o estado é R, a partícula passa novamente pela origem mas desta vez com velocidade positiva e a partícula continuará sempre a afastar-se da origem sem voltar para atrás.
Observe-se que a velocidade de fase aponta sempre no sentido positivo do eixo <math>\scriptstyle x</math> nos dois primeiros quadrantes do espaço de fase, porque nesses quadrantes o valor da velocidade é sempre positivo, e nos terceiro e quarto quadrantes aponta sempre no sentido negativo do eixo <math>\scriptstyle x</math>, porque nesses quadrantes o valor da velocidade é negativo. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
[[File:Velocidade de fase em vários pontos do espaço de fase e uma curva de evolução de sistema.png|thumb|
Nos pontos do eixo <math>\scriptstyle x</math>, a velocidade de fase é sempre perpendicular ao eixo, porque a velocidade<math>\scriptstyle v_x</math> é nula em todos esses pontos. Assim sendo, as curvas de evolução do sistema deslocam-se no sentido positivo de <math>\scriptstyle x</math> nos dois primeiros quadrantes, e no sentido negativo nos outros dois quadrantes.
===Pontos de equilíbrio===
Em cada ponto do espaço de fase, a velocidade de fase indica a direção e sentido que
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desse eixo).
=== Sistemas autônomos ===
[[File:Posição e velocidade em função do tempo no caso de um ciclo (esquerda) e de uma órbita homoclínica..png|thumb|right|300px|Posição e velocidade em função do tempo no caso de um ciclo (esquerda) e de uma '''órbita homoclínica'''.]]
Quando a força resultante que atua sobre a partícula não depender do tempo, diz-se que o
sistema é um '''sistema autônomo'''. '''Do ponto de vista [[física|físico]]''', um sistema será autônomo se, sempre que for colocado no mesmo estado inicial, a sua evolução for a mesma.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
Os sistemas que observamos na natureza costumam ter essa propriedade. As leis físicas
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Se a força resultante sobre a partícula for conservativa, será
possível definir uma função de energia potencial. Se a componente da força depende
unicamente da posição <math>\scriptstyle x</math>, o sistema é conservativo. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
A energia potencial <math>\scriptstyle U</math> calcula-se a partir da primitiva da componente da força da ([[Forças_conservativas#Teorema_do_Trabalho_e_Energia_Potencial|equação]]):
<math>
U = - \int_{x_\text{ref}}^x F_x\,\mathrm{d}\,x
</math>
{{referências}}
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