Transformada de Legendre: diferenças entre revisões
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A '''transformada de Legendre''' consiste em uma transformação [[matemática]] que, quando aplicada sobre uma [[função (matemática)|função]] <math> Y = Y_{(X_0 , X_1, X_2, ... X_n)} </math> sabidamente [[função diferenciável|diferenciável]] em relação às suas [[variável independente|variáveis independentes]] <math> x_i </math> , fornece como resultado uma nova [[equação]] na qual as [[derivada parcial|derivadas parciais]] <math> P_i = \frac{\part Y_{(X_0, X_1, ... X_n)}}{\part x_i}</math> associadas, e não as variáveis <math> x_i </math> em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita", <math> \Psi = \Psi_{(P_0 , P_1, P_2, ... P_n)} </math>. A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.<ref>A redação da maior parte deste artigo dá-se em acordo com o descrito em Callen, Herbert B. - Thermodynamics and An Introduction to Thermostatics - John Wiley & Sons - ISBN 0-471-86256-8</ref>
== A Transformada de Legendre e a Termodinâmica ==
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Em termodinâmica, cada [[sistema]] em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por [[equação fundamental]], uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no [[equilíbrio termodinâmico]] encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir das mesmas.
As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para a [[entropia]] S em um [[gás ideal]] será dependente das grandezas [[volume]] (V), [[quantidade de matéria|número de partículas]] (e não de [[mol]]es) N, e da [[Energia Interna]] U: <math> S = S_{(U, V, N)} </math>. No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em <math> S_{(U,V,N)} </math> tem-se facilmente <math> U_{(S,V,N)} </math>, também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo a [[Gás ideal#Equação de Clapeyron|equação de Clapeyron]] <math> PV=NRT </math> e a equação da energia <math> U = \frac{n}{2} K_bT </math> (n= 3; 5; ... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.
Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron <math> P_{(V,T, N)}</math> e a da energia <math> U = U_{(T)} </math>, em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com <math> k_B </math> representando a [[constante de Boltzman]] e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a [[análise dimensional]], não explicitamente indicadas aqui <ref>A saber, o expoente em funções exponenciais e o argumento em logaritmos devem ser adimensionais. Para maiores detalhes, consulte a versão anglófona do artigo [[:en:Ideal Gas#Entropy|Gases ideais]].</ref>:
<math>S_{(U,V,N)}= \frac {3}{2} Nk_B \ln\left(\frac {U}{N}\right) + Nk_B \ln\left(\frac{V}{N}\right) +Nk_Bc </math>
<ref>Em acordo com Salinas, Sílvio R. A. - Introdução à Física Estatística - EdUSP - 1999 - ISBN 85-314-0386-3</ref>
Isolando-se U, tem-se, na representação da energia:
<math> U_{(S,V,N)} = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {S}{Nk_B} -c\right)} </math>
Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as [[grandeza intensiva|grandezas intensivas]] como a pressão <math> P </math> , temperatura <math> T </math>, e potencial químico <math> \mu </math> ( onde <math>P= -\frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part V} </math> , <math> \mu = \frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part N} </math> e <math> T= \frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part S} </math> no formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que as [[grandeza extensiva|grandezas extensivas]] como o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.
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A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a ela [[grandeza conjugada|conjugada]], dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber:
* A [[energia interna]] U, onde <math> U = U_{(S,V,N)} </math> : a representação padrão no formalismo da energia.
* A [[energia livre de Helmholtz]] F, onde <math> F = F_{(T, V, N)} </matH>: decorre da substituição da grandeza extensiva S em <math> U = U_{(S, V, N)} </matH> pela correspondente grandeza conjugada, T, mediante F= U-TS , sendo <math> F = F_{(T, V, N)} </matH> "mais adequada" para o estudo das [[transformação isotérmica|transformações isotérmicas]].
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Para tal, considere a reta tangente à curva <math> Y_{(X)} </math> no ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto <math> \psi </math> onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:
<math> P = \frac {\Delta Y}{\Delta X} = \frac {Y - \psi}{X-0} </math>
donde tem-se
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A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada por ''f''(''x'') pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (''x'', ''y''), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y.
A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer a [[Transformada de Legendre-Fenchel]].
A definição de Transformada de Legendre pode ser mais explícita. Para maximizar <math>px-f(x)</math> em relação a <math>x</math>, faz-se a sua derivada igual a zero:
::<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(px-f(x) \right) = p-{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} = 0. \quad \quad (1)
Então a expressão é maximizada quando:
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==== Consideração importante ====
Há ainda uma terceira definição para Transformada de Legendre: <math>f
:<math>Df = \left( Df^\star \right)^{-1}.</math>
Linha 127:
:<math>x = {df^\star \over dp}(p).</math>
Vê-se que <math>Df</math> e <math>Df^\star</math> são inversas, conforme prometido. Elas são unívocas a menos de uma constante aditiva que é fixada pelo requerimento adicional de que:
:<math>f(x) + f^\star(p) = x\,p.</math>
Linha 145:
Da linha 2:
<math>P=\frac {\part Y_{(X)}}{\part X} = 2X </math>
Logo, para a linha 3: <math> X = \frac {p}{2} </math>
e <math> Y = X^2 = \left(\frac {p}{2}\right)^2 </math>
Linha 170:
Conforme antes apresentado (e mantidas as mesmas ressalvas), para um gás monoatômico ideal constituído por N partículas confinadas em um volume V e com uma entropia interna S:
<math> U_{(S,V,N)} = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {S}{Nk_B} -c\right)} </math>
da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:
<math> F = U - TS </math>
mediante substituição da variável S pela sua respectiva conjugada, T.
Linha 180:
Pelo formalismo termodinâmico tem-se que:
<math> T = \left(\frac {\part U_{(S,V,N)}}{\part S}\right)_{V,N} </math>
onde os índices V e N enfatizam que as grandezas volume V e quantidade de partículas N devem ser tratadas como constantes na derivada parcial. Procedendo-se o cálculo da derivada ter-se-á:
Linha 190:
<math> S = \frac {3Nk_B}{2} \ln\left[\frac {3}{2} k_BT\left(\frac{V}{N}\right)^{\frac {2}{3}}\right] + cNk_B </math>
a ser substituída em
<math> F = U-TS = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {S}{Nk_B} -c\right)} - TS </math>
Linha 287:
Nesta equação, <math> \dot{x} </math> representa a velocidade da partícula associada à coordenada x.
A partir desta equação fundamental pode-se, de posse do formalismo da mecânica lagrangiana e do Princípio de Lagrange, determinar a equação de movimento para a massa.
Para fins de comparação das soluções, a solução no formalismo lagrangiano é apresentado abaixo, partindo-se para tal do
<math>L = L_{(x_1,x_2,...,x_n, \dot{x_1},\dot{x_2},...,\dot{x_n})}</math> tem-se, com i=1,2,...
que:
<math> \frac {\part L}{\part x_i} - \frac {d}{dt} \frac {\part L}{\part \dot{x_i}} = 0 </math>
Linha 311:
A solução desta equação diferencial leva a uma função horária cossenoidal para o movimento da massa no oscilador harmônico simples considerado (para a solução, consulte o [[oscilador harmônico|artigo dedicado]]).
<math> X(t) = A cos (kx-\omega t + \phi) </math>
onde <math> \omega = \left(\frac {k}{m}\right)^ \frac {1}{2} </math>
Procura-se agora chegar a uma mesma solução através do formalismo da mecânica hamiltoniana.
Linha 327:
<math> \dot{x} = \frac {P}{m} </math>
Determinando-se o Hamiltoniano H através de
<math>(-H) = L - P \dot{x} </math>
Linha 337:
Resolvendo, chega-se ao Hamiltoniano do sistema, uma equação fundamental que contém igualmente todas as informações necessárias sobre a dinâmica do sistema:
<math> H_{(P,x)} = \frac {P^2}{2m} + \frac {1}{2}kx^2 </math>
Aplicar-se-á agora o formalismo da mecânica hamiltoniana a fim de se comparar os resultados.
As equações diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton são, já adaptadas ao problema unidimensional com variáveis x e P (fez-se q=x para tal):
<math> \dot{x} = \frac {\part H}{\part P} = P/m </math>
Linha 348 ⟶ 347:
<math> - \dot{P} = \frac {\part H}{\part x} = kx </math>
Da primeira tem-se:
<math> P = m \dot{x} </math> donde
Linha 362 ⟶ 361:
<math> kx + m \ddot {x} = 0 </math>
que é a mesma equação diferencial antes obtida pelo formalismo lagrangiano, o que leva à mesma solução já apresentada, obviamente.
{{Referências}}
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