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Linha 21: :<math>E[g(X)]=\int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)dx</math> Deve-se notar que, no caso geral, <math>\mathbf{E}\,</math> não comuta com a função g, ou seja: :<math>E[g(X)] \neq g(E[X])\,</math> === Esperança de variáveis aleatórias de mais de uma dimensão === Para o caso mais geral de <math>\mathbf{X}\,</math> ser uma [[variável aleatória]] de mais de uma dimensão, e com <math>\mathbf{g}\,</math> assumindo valores em um [[espaço vetorial]] normado, temos: :<math>E[\mathbf{g}(\mathbf{X})]=\sum_{i=1}^{\infty} p(\mathbf{x_i}) \mathbf{g}(\mathbf{x_i})\,</math> e :<math>E[\mathbf{g}(\mathbf{X})]=\int_{\Omega} \mathbf{g} dP\,</math>, em que a [[integral de Lebesgue]] é usada. == Exemplos == * a [[variável aleatória]] X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0. * a [[variável aleatória]] X dada por <math>p(X = (-10)^n) = (1/2)^n\,</math> para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado. * Seja um [[vetor]] aleatório Y de dimensão nX1, cujos componentes são as [[variável aleatória\|variáveis aleatórias]] <math>Y_1,...,Y_n</math>. A esperança de Y, <math>E[Y]</math>, é um vetor nX1 cujos componentes são as esperanças das [[variável aleatória\|variáveis aleatórias]] que compunham Y. Ou seja, :<math>Y=\begin{bmatrix} Y_{1} \\ \vdots \\ Y_{n} \end{bmatrix} \rightarrow E[Y] = \begin{bmatrix} E[Y_{1}] \\ \vdots \\ E[Y_{n}] \end{bmatrix}</math>. Linha 40: Nas seguintes propriedades, <math>X, Y</math> são variáveis aleatórias, <math>a, b, c</math> são constantes. :<math>E(a) = a\,</math> :<math>E (a + X) = a + E(X)\,</math> :<math>E(b X) = b E(X)\,</math> :<math>E(a + b X) = a + b E(X)\,</math> E para duas variáveis aleatórias: :<math>E(X + Y) = E(X) + E(Y)\,</math> :<math>E(a + bX + cY) = a + b E(X) + c E(Y)\,</math> Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias. Linha 59: O valor esperado de uma [[combinação linear]] de [[variável aleatória\|variáveis aleatórias]] é a combinação linear dos seus valores esperados: : <math>E[a X + b Y] = a E[X] + b E[Y]\,</math> Por esse motivo, a [[função (matemática)\|função]] E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um [[operador linear]], chamado de '''operador esperança'''. == Esperança do produto == No caso geral, temos que : <math>E[X Y] \neq E[X] E[Y]\,</math> No caso particular de ''X'' e ''Y'' serem [[variáveis aleatórias independentes]], temos que: : <math>E[X Y] = E[X] E[Y]\,</math> == Esperança condicional == Linha 79: Esta variável Z tem as seguintes propriedades: * Z não contém mais informação que a contida em <math>{\color{Magenta}\tau}: \sigma \left ( Z \right ) \sub {\color{Magenta}\tau} </math>. Ou seja, a [[variável aleatória]] (que é sempre uma [[função (matemática)\|função]]) <math> \varpi \rightarrow Z \left ( \varpi \right ) </math> é mensurável com relação a <math>{\color{Magenta}\tau} </math> (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a <math>{\color{Magenta}\tau} </math>) <ref>SILVA, Marcos Eugênio da. '''Uma Nota sobre Esperança Condicional e Expectativas Racionais'''. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf></ref> * Z satisfaz a relação <math>E(X( \varpi ).I_A) </math> <math>= E \left [ Z \left ( \varpi \right ).I_A \right ] \forall A \in {\color{Magenta}\tau}</math>, onde <math>I_A</math> é uma [[função indicadora\|variável indicadora]], que vale 1 se <math>\varpi \in A </math> e 0 se <math>\varpi \not\in A </math>.

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