Lei de Stefan–Boltzmann: diferenças entre revisões
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A Lei de Stefan-Boltzmann é um exemplo de [[lei potencial]].
==Histórico e construção==
Em 1879, o físico esloveno [[Jožef Stefan]] (1835-1893) deduziu, a partir de resultados experimentais, que a potência '''P''' (energia irradiada por segundo) de um [[corpo negro]] é diretamente proporcional à sua temperatura '''T''' elevada à quarta potência e também diretamente proporcional à área A da superfície emissora. Essa relação foi chamada de [[Lei de Stefan]].
<math>P=\sigma.T^4.A,</math>
Onde σ = 5,67 x 1<sup>-8</sup>W/m<sup>2</sup>K<sup>4</sup> é a constante de Stefan.
Mais tarde, em 1884, o [[físico]] austríaco [[Ludwig Boltzmann]] (1844-1906) deduziu a Lei de Stefan teoricamente, utilizando a [[Termodinâmica]] estatística. O modelo utilizado por Boltzmann foi uma máquina térmica que, em vez de usar gás como substância, usava a luz.
Vale aqui um parênteses importantíssimo: em 1871, Boltzmann, baseado nos trabalhos pioneiros de [[James Maxwell]] em [[física estatística]], desenvolveu, junto com outros cientistas, a teoria cinética dos gases, a qual relaciona o micro com o macro. Um dos resultados mais impressionantes é a relação entre a temperatura '''T''' de um [[gás]] (o macro) e o movimento
das suas moléculas (o micro), mais especificamente a energia cinética média '''E<sub>c</sub>''' das moléculas.
Utilizando recursos da Termodinâmica e da estatística e um
modelo extremamente simples para os gases, Boltzmann deduziu que:
<math>E_c=3/2K_B T</math>
K<sub>B</sub>=1,38 x 10<sup>-23</sup>J/K é a [[constante de Boltzmann]]: o elo entre o microscópico e o macroscópico. Em outras palavras, a média das energias cinéticas de cada uma das moléculas de um gás é 3/2K<sub>B</sub>T. Veja a ordem de grandeza da constante de Boltzmann: ela é muito, muito pequena, tal como esperado, pois a energia cinética de uma única molécula de um gás deve ser mesmo pequena.
Pelo formato das curvas da intensidade da [[radiação de corpo negro]] X comprimento de onda a
diferentes temperaturas, nota-se que sua expressão matemática não seria tão simples como a Lei de Stefan e a [[Lei de Wien]].
Em 1893, o mesmo Wilhelm Wien, baseado nos dados experimentais e na sua intuição, ''ajustou'' uma expressão matemática aos dados experimentais (hoje um computador faz isso instantaneamente), que ficou conhecida como a Lei da Radiação de Wien:
<math>I(\nu,T)=\alpha.\nu^3.e^{-\beta f/T}</math> Onde: α e β são constantes.
Em 1900, na [[Inglaterra]], [[Lord Rayleigh]] (1842 – 1919) derivou teoricamente uma outra expressão matemática, baseando-se nas leis clássicas de Newton e Maxwell e com o auxílio da mecânica estatística de Boltzmann. O modelo teórico de Rayleigh foi o de uma ''cavidade radiante'' onde as ondas eletromagnéticas refletem nas paredes formando ondas estacionárias semelhantes às da experiência da corda, só que em 3 dimensões.<ref name=Nisenbaum>{{Citar livro
|nome=Moisés André Nisenbaum
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Os resultados de Rayleigh foram corrigidos pelo físico James Hopwood Jeans (1877 – 1946), e a
expressão final ficou conhecida com Lei da Radiação de Rayleigh-Jeans:
[[Imagem:RWP-comparison.svg|thumb|300px|Comparação de lei Distribuição de Wien com a Lei de Rayleigh-Jeans e a lei de Planck, em um corpo de temperatura de oito mK]]
<math>I(\nu,T)=\frac{8\pi.\nu^2}{c^3}.K_B T</math>
Onde K<sub>B</sub> é a [[constante de Boltzmann]] e ''c'' é a [[velocidade da luz]].
Entretanto, a aproximação de Wien só explicava bem a radiação do corpo negro para comprimentos de onda baixos (frequências altas); e, a de Rayleigh, só funcionava bem para comprimentos de onda altos (frequências baixas)<ref group="nota">a frequência ν e o comprimento de onda λ se relacionam através da expressão c = λ.ν onde c é a
velocidade da luz. Logo, frequências baixas significam comprimentos de onda grandes e vice-versa</ref>. A figura mostra o problema: a curva verde é a curva experimental, ou seja, a realidade dos fatos; a curva vermelha é aquela derivada pela equação de Rayleigh-Jeans: ela só se ajusta bem à curva experimental em frequências baixas. A curva em azul é a curva derivada da equação de Wien: só se ajusta bem à curva verde, experimental, em frequências altas. Ou seja, nenhuma das duas curvas derivadas da teoria explicava a curva experimental. Disso os cientistas não gostam, pois a ciência parte do pressuposto de que existe uma explicação unitária para um mesmo fenômeno.<ref name=Nisenbaum>{{Citar livro
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Em 1895 [[Max Planck]] começou a se interessar pelo fenômeno da radiação do corpo negro e suas pesquisas nesse campo durariam 5 anos. Planck desejava construir um modelo teórico que encontrasse as correções necessárias na Lei da Radiação de Wien para entrar em concordância com os dados experimentais em qualquer frequência.
O modelo de Planck baseava-se no que ele chamou de ''osciladores'', ou seja, os geradores das ondas que estariam nas paredes do forno. Era como se bolinhas infinitamente pequenas, atadas a molas idem, estivessem presas na parede interna do corpo negro e a absorção de radiação se desse com as bolinhas passando a vibrar mais, enquanto a radiação se desse com as bolinhas passando a vibrar menos. O desenvolvimento teórico seguiu, chegando a uma expressão final muito interessante, como veremos.
Em outubro de 1900, Planck convidou para um chá em sua casa, [[Heinrich Rubens]] (1865 – 1922) que, juntamente com Ferdinand Kurlbaum (1857 – 1927), obtivera dados de alta precisão da radiação do corpo negro, especialmente nas frequências onde a Lei da Radiação de Wein falhava. Horas depois que seu convidado foi embora, Planck intuiu uma expressão que se ajustava perfeitamente aos dados experimentais, a [[Lei de Planck]], da radiação térmica:
<math>I(\nu,T)=\frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{hv}{kT}}-1}</math>
Onde
I = radiância espectral / Js<sup>-1</sup>, m<sup>-2</sup> , sr<sup>-1</sup> ,Hz<sup>-1</sup>
ν = [[frequência]] / [[Hertz]]
T = [[temperatura]] do corpo negro / [[kelvin]]
h = [[constante de Planck]] / [[joule]] - [[hertz]]
c = [[velocidade da luz]] / metros - segundo
e = [[número de Euler]] / adimensional
Baseado na Termodinâmica e nos estudos de mecânica estatística de Boltzmann, Planck desenvolveu seu modelo teórico. Boltzmann tinha um trabalho com átomos que era matematicamente semelhante. Nele, as energias dos átomos eram múltiplos inteiros de uma energia mínima ε. Planck fez uma analogia com os ''osciladores'' das paredes do forno e obteve, estupefato, o seguinte resultado: para uma determinada frequência ν, a energia dos osciladores somente poderia ser um múltiplo inteiro de hν, onde h = 6,63 x 10<sup>-34</sup> j.s j.s é a constante de Planck. A energia não era absorvida ou emitida de modo contínuo, mas apenas em múltiplos de uma unidade mínima, que dependia da frequência da radiação. Ou seja, se estamos trabalhando com apenas uma frequência (ν), toda a energia que o corpo negro pode absorver ou emitir tem que ser múltiplo inteiro de ''hν''. O quantum de energia dos osciladores deveria ser hν. Devido à pequeníssima magnitude da constante de Planck, não notamos isso no nosso dia-a-dia.<ref name=Nisenbaum>{{Citar livro
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Devido à natureza conservadora de Planck era muito difícil pensar que a energia, grandeza fundamental de toda a Física, que todos pensavam que podia ser emitida ou absorvida continuamente, pudesse ser discreta, ou seja, emitida ou absorvida apenas em unidades múltiplas de um certo valor mínimo. Deve ter sido muito difícil para Planck admitir sequer essa possibilidade. Mas, mesmo assim, Planck publicou seu trabalho, e numa das mais magníficas páginas da história da ciência, deu início ao que chamamos hoje de [[Mecânica Quântica]].
== Exemplos ==
Com a Lei de Stefan-Boltzmann, os [[astrônomo]]s puderam inferir facilmente o raio das [[estrela]]s. A lei é também usada na termodinâmica dos [[buraco negro|buracos negros]] na chamada [[radiação de Hawking]]. De forma semelhante podemos calcular a temperatura da Terra ''T''<sub>E</sub>:
5780 \times \sqrt{696 \times 10^{6}\over 2 \times 149.59787066 \times 10^{9} } = 278.7755970 \; {\rm K} \; , </math>
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Alguns físicos criticaram Stefan por usar um método inédito para determinar a lei. É certo que foi ajudado por algumas coincidências, mas isto não significa que não fizera a dedução correta.
{{notas}}
{{Referências}}
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